关于函数对称性的探究

朱启东

（云南省会泽县茚旺高级中学）

充分理解应用函数的对称性，无论在教师教学上还是在学生处理问题上都有较强的辅助作用。

一、函数关于点的对称性

函数关于点的对称性主要是单个函数自身关于点对称和函数之间关于点对称。函数自身关于点对称主要定理为：若有函数y=f（x）的函数图像是关于点A（a，b）对称的，则f（x）+f（2a-x）=2b是其充分必要条件。其必要性可如下证明：点B（x，y）是y=f（x）图像上任一点，因为B（x，y）关于点A（a，b）的对称点B′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，所以有2b-y=f（2a-x）.即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证。同样可以利用设点带入的方法证明其充分性。函数间关于点对称主要定理有：函数y=f（x）与y=2bf（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称。函数间关于点对称的函数表达形式同函数自身关于点对称相似，区别在于相对称的两点在不同函数上。

二、函数关于直线的对称性

同函数关于点对称相同，函数关于直线对称也分为函数自身关于直线对称和函数间关于直线对称。函数自身关于直线对称定理主要为：若函数y=f（x）的函数图像关于直线x=a 对称，f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）是其充分必要条件。同样可以使用设任意点B（x，y）带入函数验证的方法分别证明充分性和必要性。函数间关于直线对称的定理主要有：函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a 成轴对称；函数y=f（x）与a-x=f（a-y）的图像关于直线x+y=a 成轴对称；函数y=f（x）与x-a=f（y+a）的图像关于直线x-y=a成轴对称。定理的证明仍以设任意点带入函数验证的方式证明。

三、函数对称性的应用

在教学上可以利用函数的对称性进行函数教学，例如，在画函数图像进行分析函数时，可以利用函数的对称性进行画图；讲解函数奇偶性的时候可以利用函数关于直线对称的特殊形式（a=0）；反函数关于直线y=x 对称等。学生解题上可以利用函数的对称性，比如函数极大值、极小值的求解上，若函数关于直线对称，就可求一边极值点，再对称写出另一极值点。

王斌.函数对称性的探究［J］.考试周刊，2014（23）.