高中数学“数列与差分”专题教学设计研究

◆朱旭春 周 红

(山东省昌邑市文山中学)

一、引言

数学在我们的日常生活中十分有用。生产实践中，很多事物情况的描述都可以使用数学模型表示。例如，在建筑领域中，电梯使用首先是建造出一个描述实际使用电梯的数学模型，然后再设计相应的PLC 程序指令完成这个数学模型的要求。高中数学在选择部分出现了“数列与差分”这个专题，也是我们生活中常常遇到的问题。数列和差分属于离散数学的一部分，是学生上大学之后，开展的高等数学学习的基础。数列是通过离散的数字或是表达式反映数学模型。例如，中国福利彩票每期开奖数据，可以用数列表示出来，一些彩民就是利用长期数列查找出其中的一些数学模型及其规律。再如，沪深股票的涨跌数据，也是可以由一些离散的数列表示出来，操盘手利用平时的经验，数据走向达到一定值时，开始进行运作。总之，数列在生活中的应用数不胜数。差分是对数列的进一步运算得出的，它实际上也是一种新的数列，是对原来数列规律的一种反应。如一个数列的一阶差分数列是一组常数，则原数列就是线性函数列，也就是常说的等差数列，当一个数列的二阶差分数列中出现了一个大于零的数时，原数列表示在坐标轴上的点就是从这个位置开始凹的，反之是开始凸的。

二、教学目的、内容和总体思路

高中数学本身的学习就是学生学习的难点，尤其是现在课程改革之后，很多时候将大学中的高等数学中的基本知识点下放到高中数学的选修部分中，这就给高中的教学工作带来了不小压力。导数、矩阵、布尔代数、数列和差分都属于这种高等数学中基本的知识点，现在已经是高中数学的必修或选修的一部分。数列和差分是选修的部分，国家的普通高中数学教学课标对这部分的学习不是硬性要求，指出根据学校和教师情况逐步开设这部分内容，提高学生对数学学习的兴趣，以及学生以后运用该知识解决问题的能力。

根据课标要求，数列和差分的学习涉及理解数列差分的概念;一阶、二阶差分对数列的描述含义;差分与数列的升降、最值、凸凹之间的联系;一阶线性差分的方程方面内容(齐次方程和差分为恒值的情况)。

这部分的教学主要分为两大部分:差分概念及与数列的关系、差分方程。其总体思路为，从易到难，按照教材的顺序，先讲差分概念，再说与数列的关系，最后谈一谈差分方程方面的内容。讲授过程中加强对教材的再次开发，从简单的事例着手，从学生感兴趣的问题谈起，注重学习兴趣在教学过程中的作用，同时注重教学内部的逻辑脉络，注意启发式教学在教学过程中的应用，引导学生积极思考差分与数列之间的关系。数学学习一方面注重教学内容的讲解，另一方面加强学生实际演算能力，可以进一步加强对知识点的掌握和理解。最后是学习效果评价，这一部分是选修内容，在理解和掌握过程中一些学生存在难度，尤其是差分方程涉及的内容更加困难，所以评价过程以了解知道为主，不需要所有学生都能掌握运用。

三、具体设计

首先，开始讲课之前，要求学生开展预习，提前一天布置学生复习数列的有关概念。如等比数列、等差数列的通项式、数列和的通项式、系数矩阵与方程组解的关系等。预习差分的有关概念。例如，一阶差分、二阶差分、(非)齐次差分方程、(非)线性差分方程等。

其次，在课堂上，主要分为三块内容——差分概念、与数列的关系和差分方程。第一部分，使用生活中的事例引出差分的概念，例如，开车时每小时记录一下里程表上的公里数，将形成一个数列，再把这个数列每一项进一步相减，便是差分，由此引出其理论概念。进一步介绍这一次相减后的差分属于一阶差分，再减一次属于二阶差分，如此下去。这时可以启发一下学生思考，我们的等差数列的一阶差分是什么，从而引出差分与数列的关系，例如，一阶差分是常数列，则原数列就是线性数列，就是通常所说的等差数列。进一步启发式引导第二部分，差分与数列的升降、最值、凸凹之间的联系。关于数列与差分的关系这部分知识点适合用启发式的教学方法，因为这部分内容有一些是前面课程涉及到的，可以前后联系，启发式教学可以使得学生使用联系的眼光看问题，对知识有整体的把握。在形成有效的整体感的同时，增加对数列和差分这部分知识掌握的兴趣。第三部分与前两个部分可能没有什么表面上的联系。可以先介绍一下差分方程的一系列概念，如(非)齐次差分方程、(非)线性差分方程。然后启发学生回想一下系数矩阵与方程组的关系，联系现在学习的差分方程的解，思考两者之间有什么相似处和不同处。这样可以同时加深对这两方面知识的掌握程度。在教学的过程中，要给足学生自己独立思考、自己演算的时间，这样他们对知识的理解将才有感性认识。同时要尊重学生的对知识点“质疑”，鼓励学生将自己的“质疑”说出来，因为这种“质疑”就是他对这个知识的疑问，可能这也是其他学生都有的疑问，在教学的过程中暴露出来之后，教师进行正确地引导，可以及时纠正这种对知识点认识的偏差。

最后，布置一定的习题，巩固其知识的掌握、纠正一些不正确的观点，同时教师可以通过习题找出学生在哪些知识点上还存在问题，以便以后进一步讲解，综合评价学生的学习效果，分析教师的教学设计和方法是否存在进一步改善的地方。

四、结语

数列和差分是离散数学的基础概念，是大学课程的一部分，近年来的教育改革，提出了学生学习能力的培养，大抓素质能力养成，所以一些大学里较为简单的知识点进一步下放到高中，给学生提供进一步探究的领域，有效地引导学生自主学习，提高学习的积极性和兴趣。高中数学中的数列和差分的内容属于选修部分，同时这一部分内容难度还是很大的，对一些有能力的同学可以做适当的要求，但是不能对全体学生提出完全掌握的要求。总之，任何专题的教学设计都是多样的，本人从自身的经验角度，提出一些关于数列和差分专题的教学设计，望为他人教学提供有效参考。

［1］包蕾.高中数学新课程教学设计的一般模式［J］.考试周报，2014，(65):122－123.

［2］李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践［J］.课程·教材·教法，2013，(2):234－235.