浅谈微分法在机械工程中的两个应用

高彦辉,孙泽鹏（河北农业大学机电工程学院,河北　保定　071001）

浅谈微分法在机械工程中的两个应用

高彦辉,孙泽鹏
（河北农业大学机电工程学院,河北保定071001）

摘要：微分学不仅是理论知识的基础理论，而且是解决实际问题的有效方法。本文论述了利用微分法计算定位误差和快速绘制剪力图及弯矩图，并且通过实例验证了微分法在解决机械工程中复杂问题的快捷性，拓宽解题思路。

关键词：微分法；定位误差；剪力（弯矩）图

0　引言

微分学高等数学中的一个重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用。在专业课的学习过程中，我体会到了微分学在解答一些复杂问题时会迎刃而解。其一是在机床夹具设计过程中需要计算定位误差，而对于包含多误差因素的复杂定位方案的定位误差分析计算用合成法或者几何法计算就会很繁琐，以至于无法计算出定位误差，此时用微分法就会做到事半功倍；其二是在机械设计过程中，在对轴的强度和刚度校核时，通常要将轴简化为梁，画出剪力图和弯矩图，以便快速的找出危险截面。而在画剪力图和弯矩图时应用微分法就会简化解题步骤，可以在很短的时间内画出剪力图和弯矩图，因此掌握微分学在其他学科的运用越来越重要。

1　微分法计算定位误差

1.1微分法计算定位误差概述

对于包含多误差因素的复杂定位方案的定位误差分析计算，如果采用合成法或者几何法，分析过程较为繁琐，若有角度误差影响时，分析计算更加困难。根据定位误差的实质，借助尺寸链原理，列出工件定位方案中某工序尺寸与相关的工件本身和夹具定位元件尺寸之间的关系方程，通过对其进行全微分可以获得定位误差与各个误差因素之间的关系。

1.2应用实例

工件以外圆柱面在V形块上定位，如图1所示，计算尺寸A的定位误差。

图1　微分法计算尺寸A的定位误差

分析过程：尺寸A的工序基准为外圆的下母线M，可以写出M点至加工尺寸方向的某固定点（取V形块两斜面交点N）的距离

对上式取全微分，并忽略V形块的角度误差（即将α视为常量）得到：

用微小增量代替微分，并将尺寸误差视为微小增量，可以得到尺寸A的定位误差为：

式δd,δа中分别为工件外圆直径公差和V形块的角度公差，由于实际中在支承定位的情况下，V形块的角度误差可以通过调整刀具相对于夹具的位置来进行补偿，因此可以得到用V形块对外圆表面定位，当工序基准为外圆下母线时，在垂直方向上的定位误差为

2　用微分法直接绘制剪力图和弯矩图

2.1弯矩F(x)、Fs(x)和载荷集度q(x)之间的微分关系

由以上三式可以得出以下推论：

（1）弯矩、剪力图曲线的斜率依次与剪力Fs、分布载荷q的值一一对应。

在无分布载荷作用的一段梁上，Fs(x)是常数，剪力图为水平直线，其斜率为零。当Fs(x)＞0时，弯矩图为向右上方倾斜的直线，斜率为正；当Fs(x)＜0时，弯矩图为向右下方倾斜的直线，斜率为负；当Fs(x)=0时，弯矩图为一水平直线，斜率为零。

在有均布载荷作用的一段梁上，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。当q(x)方向向下时，剪力图为向右下方倾斜的直线，斜率为负，弯矩图为凹向下的二次抛物线；当q(x)方向向上时，剪力图为向右上方倾斜的直线，斜率为正，弯矩图为凹向上的二次抛物线。

（2）在集中力F作用处，剪力有突变，其突变量等于集中力的大小，且剪力图上数值的变化方向与集中力的方向一致，弯矩图斜率有突变，弯矩图出现尖角，发生转折。

（3）在集中力偶Me作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，其突变量等于该力偶矩的大小。若Me为顺时针转向，则弯矩值骤升；Me为逆时针转向，则弯矩图骤降。

（4）在分布载荷规律突变处，剪力图斜率发生间断，出现尖角，而弯矩图曲率发生间断，但斜率连续。

（5）剪力的极值可能出现在集中力作用处或分布载荷规律突变处，而弯矩的极值可能出现在剪力为零的截面上，或在集中力、集中力偶作用处。

2.2利用微分关系直接作剪力图和弯矩图的步骤

（1）分别建立梁的受力图、剪力图和弯矩图的直角坐标系，规定X轴向右为正，y轴、Fs轴和M轴向上为正。

（2）画出受力图，求约束力，明确力的大小和方向。

（3）根据载荷和约束力的作用情况，确定控制面。所谓控制面，是指这样的截面，在任意两个控制面之间的剪力和弯矩分别按同样的规律变化。例如集中力、集中力偶作用处和分布载荷集度发生突变处的截面，均为控制面。

（4）利用截面法或者直接求和法，确定控制面两侧剪力和弯矩的大小，并标在剪力图和弯矩图上。

（5）利用微分关系判断控制面之间的剪力曲线和弯矩曲线的形状特点和变化趋势：直线还是曲线，倾斜方向及凹凸性，两段曲线连接处是否光滑等。对于直线，只需以直线连接两个控制面的点即可，对于曲线，则应计算几个中间值，再用光滑的曲线连接起来。

2.3应用实例

一简支梁的如图2所示，其中F1=120kN，F2=60kN，q1=30kN/m，q2=20kn/m，M=80kn•m。作该梁的剪力图和弯矩图。

图2　简支梁

图3　受力图

图4　剪力图

图5　弯矩图

分析过程如下：

（1）求约束反力。取整体为分离体，建立直角坐标系，梁的受力如图3所示。由∑MA=0，∑ME=0求得FA=75kN，FE=25kn。

（2）由图可知A、B、C、D和E五处截面均为控制面。

（3）确定各控制面两侧的力和弯矩的大小。

各控制面左侧的剪力和弯矩可通过直接求和法求得如下：

各控制面右侧的剪力和弯矩可由间接规律求得如下：

利用微分关系判断各控制面之间的剪力和弯矩曲线的形状，画剪力图和弯矩图。

AB段梁上无外力作用，故剪力图为一条水平直线，弯矩图为向右上方倾斜的直线。BC段也无外力作用，故剪力图仍为一条水平线，弯矩图为向右下方倾斜的直线。CD段有方向向上的均布载荷作用，故剪力图为向右上方倾斜的直线，弯矩图为凹向上的二次抛物线。DE段有方向向下的均布载荷作用，故剪力图为向右下方倾斜的直线，弯矩图为凹向下的二次抛物线。因此，剪力图由几段直线构成，依次用直线直接连接表示控制面两侧剪力大小的点就可以得到剪力图如图4所示。对于弯矩图，在CD段和DE段均为曲线，因此需要计算中间值。CD段：由剪力图可知，在截面F处剪力为零，该处弯矩取得极值，极值为

DE段:由剪力图可知，在截面G处剪力为零，该处弯矩取得极值，极值为

因此，弯矩图的AB段和BC段均为直线，用直线连接控制面的点即可，CD段和DE段为曲线，用光滑的曲线连接表示控制面两侧弯矩大小的点和极值点，便可以得到弯矩图如图5所示。

3　结语

通过以上分析可知，用微分法解决复杂定位误差计算时会变得很简单，并且在绘制复杂受力梁的剪力图和弯矩图时会更加简便、快捷、有效。因此，我们应重视微分法在机械工程中的应用。

参考文献：

[1]肖继得，陈宁平.机床夹具设计[M].北京:机械工业出版社，2000.

[2]王先逵.机械制造工艺学[M].北京:机械工业出版社,1995.

[3]蒋平.工程力学基础(Ⅰ)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]杨庆生,崔云,龙连春.工程力学[M].北京:科学出版社,2014.