从推箱子再谈物体平衡的动态分析

马晓娟

（中国人民大学附属中学，北京 100080）

推动物体前进是现实生活中经常会遇到的情形，也是中学物理经常用来受力分析的物理情景，如图1所示（以下讨论均假设物体以及地面为刚体，图片取自人教版物理必修1 57页图3.3-1图乙）.在中学教学过程中，我们往往把物体抽象为质点，那么该物体的受力很自然地可以认为是共点力，此时我们可以画出如图2所示的受力分析图，物体所受的4个力为共点力.但如果我们考虑得更加实际一些，会发现推力的作用点在箱子的左侧方，而摩擦力则作用在箱子下方的接触面上，如果我们认为此时支持力仍然可以像重力一样等效作用在重心上，则此时的受力图将如图3所示，很明显这几力不再共点.那么物体此时能够平衡么？事实上，在初中的同一直线上二力合成的教学中，很注重区分类似的情形.在北师大版物理8年级下册40页实验探究部分给出了如图4所示的对比实验，明确对比了力的作用线是否在同一直线的情形，强调了同一直线的必要性，否则物体在这样两个力的作用下将会发生转动，直至达到图4甲图所示二力处于同一直线时的平衡状态.因此，如果图3是物体此时的真实受力，物体必不能平衡，一定会转动.因此，一些喜欢思考的学生再进一步观察分析真实物理情景时往往会觉得非常疑惑，不能建立正确的物理模型并进行分析.在这里，我们将对这一问题进行探讨.

图1

图2

图3

图4

推过箱子的人都知道，如果推得不得当箱子将不会向前滑动，而是会翻滚，推力的作用点越接近箱子的顶部，这种翻滚的现象就越容易出现，如果考虑这样一个真实过程，除了平动，还必须考虑到转动.此时，我们不妨取箱子右下角与地面接触的点O点作为支点来分析这种转动效应（实际上箱子是三维的，很可能是以某个边为转轴，我们简化到二维平面来讨论）.

图5

现在，先让我们来考察一下推箱子而使箱子即将绕O点转动的临界状态.假设箱子长为L长，宽为L宽，最初静止放置在水平地面上，水平外力F推作用在物体顶端，不断加大F推，假设地面足够粗糙，物体不发生平动而是在某一时刻，使得物体将要绕O点发生转动，即这个时刻物体底面虽然均与水平地面接触但是此时支持力在底面上的分布是极度不均匀的，即地面给物体的支持力只作用在O点，物体处于将于转未转的临界时刻.由于支持力与摩擦力均只作用在O点，故它们对于O点力矩为0，因此此时我们得到力矩平衡方程为

如果推力较小，则在达到该临界状态之前，由于物体静止不动，由图分析易得方程中除F推之外的3项大小均不发生变化，故我们将得到

这是否意味着物体将沿着逆时针方向转动呢？显然没有，那么什么因素使得此时的力矩仍然平衡呢？直观的，我们会认识到地面对物体的支持力会阻碍这种逆时针的运动，即此时支持力将出现在力矩平衡方程中，这也就意味着支持力的作用线不再过O点，而是有一定距离，如图6所示（由于摩擦力始终作用在底面上，在整个过程中，其对O点的力矩始终为0）.那么，支持力的等效作用线到底在哪里呢？它距离O点的距离L支是多少呢？我们不妨写出力矩平衡方程来分析一下，

图6

该方程中，G，LG，L推，F支均是确定值（平动平衡：F支＝G，并在推力作用点确定及方向沿水平的情况下，否则需增加必要的分解及讨论），我们会发现支持力作用线到O点的距离将随着推力的变化而变化，并唯一被确定，即当推力一定时，支持力的作用线将唯一确定，我们可以将其写为更明确的形式为

即

现在让我们来分析推箱子的全过程.当推力为0时，由于支持力大小等于重力，我们将得到L支＝LG，即此时重力作用线与支持力作用线重合，对应是如图6所示物体自由放置在水平面上，当推力逐渐增大且在达到临界值之前，支持力在底面的分布就会发生变化，使得其等效作用线所提供力臂可以提供适当的力矩以使物体达到转动平衡.当重力矩与推力矩相等时，支持力的力臂为0，即支持力过支点，这是我们上面分析过的临界状态.在整个过程中，摩擦力作用线始终过支点，对转动无贡献，不再进行讨论.

因此，对于推箱子问题的正确认识主要是要认识到支持力的等效作用点并不固定，而是随着推力大小的变化而变化，使得系统始终满足转动平衡条件.如果还是简单地将支持力作用点认为在重心处，则无法得到正确的结论.

那么，当箱子开始绕O点转动之后，假设物体保持匀速转动，推力的大小又需要满足什么样的要求呢？

使物体绕O点发生匀速转动.对于转动平衡，以O点为支点，则支持力以及摩擦力的作用线过支点，力臂为0进而这2个力的力矩为0，如图7所示.设箱子对角线长度为L，其与水平地面的夹角为θ，我们可以得到

图7

整理可得

由上分析我们可以看到，在中学阶段我们经常将物体视为质点来进行受力分析，看成质点的过程等效于忽略力的真实作用点而将力进行平移，使之共点.但如果去考察真实的物理过程，即便是如此简单的物理图景，它的平衡也不是那么简单.

本文从中学常见的物理情形出发，对真实物理情形中的平衡问题进行了进一步探讨.虽然在中学教学中，很多时候我们不去考察物体的转动，但是在一些常见的物理情形中如何去理解，这是很多学生非常感兴趣但同时也会很疑惑的地方.因此，如果学情允许，引导学生去分析一些真实过程将很有助于学生对物理学科产生兴趣，同时在分析过程中将有助于学生将所学过的各个知识点综合应用，进一步培养科学素养.