巧用摩擦角解力学中的摩擦临界极值问题

黄 伟

（湖北汉川一中，湖北 汉川 431600）

用摩擦角结合图示分析求解力学中的摩擦临界极值问题较简单.

1 基本概念和规律

1.1 摩擦角

图1

1.2 自锁现象

图2

如图2可得，若沿与法线成角θ≤φ的方向对A物体施力F推它，则该力沿A、B接触面切线方向的分力大小Fx＝Fsinθ＝Fytanθ，其中Fy为F沿法线方向的分量，以FN表示B对A的支持力，fm表示A、B间的最大静摩擦力，在FN≥Fy的情况下，有Fx＝Fytanθ＜FNtanφ＝fm.

表示无论F多大，都不能使A、B间发生相对滑动，这一现象叫“自锁现象”.

同理可证明：竖直面和倾斜面上产生自锁的条件和水平面的情况相同.

2 基本概念和规律的应用

2.1 自锁中的临界问题

在静摩擦因素μ一定的情况下，实现自锁有以下两种途径.

（1）通过控制力的方向而自锁.

例1.（2012年高考课标卷24题）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图3）.设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某学生用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.

图3

（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切tanθ0.

解析：（1）由题意易知，

（2）常规解法：

联立（1）～（3）式得

当F无限大时右式极值为0，则

摩擦角解法：由题意，刚好开始运动时的水平推力等于此时拖把受到的最大静摩擦力fm，则比值λ即为拖把头与地板间的静摩擦因数，临界角θ0即为静摩擦角φ，设地板对拖把的正压力为FN，由自锁现象的结论则可得

（2）通过控制倾斜面的方向而自锁.

图4

例2.如图4所示，质量为m的物体放在斜面上，当斜面倾角θ为30°时恰能沿斜面匀速下滑.保持θ为30°，对物体施加一水平向右的恒力F，使物体沿斜面匀速向上滑行（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）.增大θ，当θ超过某一临界角θ0时，则不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，已知重力加速度为g，试求：

（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ.

（2）这一临界角θ0的大小.

（2）如图5，设物体具有沿斜面上滑的趋势，F与法线间的夹角为α，摩擦角为φ，物体受4个力，即F，mg，FN，f.则

图5

由自锁现象的结论可得当α≤φ＝30°时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，由几何关系可得

2.2 平衡中的极值问题

此类问题分水平面和倾斜面上求极值两种情况，方法同理，在此以水平面为例.

例3.如图6所示，在水平地面上放有一质量为m的物体，它与地面动摩擦因数为μ，现对物体施加一拉力F，使其沿地面匀速直线运动，求F的最小值及方向.

解析：如图7所示，设F与水平面夹角为θ，摩擦角为φ，物体受4个力，即mg、F、FN、f，合力为0.如图8所示，mg一定，由摩擦角的知识可知FN与f的合力FR方向一定，则F与FR垂直时F最小.即

图6

图7

图8

2.3 匀变速直线运动中的极值问题

此类问题同样分水平面和倾斜面上求极值两种情况，方法同理，在此以倾斜面为例.

图9

（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小.

（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

解 析：（1）由题意易知，

（2）常规解法：设F与斜面间夹角为α，物块受力如图10所示，则

图10

联立（3）～（5）式得

由数学知识得

摩擦角图解法：物块受力如图11所示，合力为F合＝ma，方向沿斜面向上.由摩擦角的知识可知：拉力F方向改变，摩擦角φ不变，即FN与f的合力FR方向一定，有

力的合成如图12所示，当F与FR垂直时，F最小.由几何关系易得

α＝φ，即α＝30°.

图11

图12

此类平衡和匀变速直线运动中有摩擦力的极值问题，都可用摩擦角图解法，尤其是在4个力的作用下求F的最小值，引入摩擦角可将4个力等效为3个力来处理，这3个力中，FR方向定，另一个力大小方向定，则第3个力F与FR垂直时最小.

由此可见，解此类摩擦临界极值问题，摩擦角的图解法与函数求极值相比，物理意义更加明确，通俗易懂.