试论概率论在积分中的应用

钟志波

【摘要】概率论是一门研究随机现象统计规律的学科。概率论作为数学的一个分支和其它分支学科之间是相互交叉和渗透的。本文探讨概率论在计算积分和多重积分极限等方面的应用，并通过实例进行了分析，进一步说明概率论在解决积分问题中的独特性和简捷性。

【关键词】概率 积分 勒贝格控制收敛定理 辛钦大数定律

【中图分类号】O211 【文献 概率论是一门研究随机现象统计规律的学科.概率论作为数学的一个分支和其它分支学科之间是相互交叉和渗透的.因为随机现象的普遍性，使得概率论具有极其广泛的应用.由于概率解法在其它方面的应用已成为数学研究的一个很重要的内容之一，因此学习概率论的解法具有一定的应用价值。

本文通过一些实例的分析，探讨了概率论与积分两者之间的联系，进一步说明概率论在积分中的应用，一方面显示出概率论的方法与思想在解决积分问题中的独特性和简捷性，另一方面也体现了数学学科间的深刻联系。

1.预备知识

定义1 若随机变量X的概率密度为f（x）=1/（b-a），a

则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为X～U（a，b）.此时X的数学期望E（X）为■，方差D（X）为■.

定义2 若随机变量X的概率密度为f（x）=■e■，x>0，？兹>00，其它

则称X服从参数为？兹的指数分布，简记为X～e（？兹）.此时x的数学期望E（X）为？兹，方差D（X）为？兹2。

定义3 若随机变量的概率密度为：

f（x）=■e■，-∞

则称X服从参数为？滋和？滓2的正态分布，记为X-N（？滋，？滓2），其中？滋和？滓（？滓>0）都是常数，此时X的数学期望E（X）为？滋，方差D（X）为？滓2.

定义 4 若二维随机变量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=■e■，

其中？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，？籽均为常数，且？滓1>0，？滓2>0，？籽<1，则称（X，Y）服从参数为？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，p的二维正态分布，记为（X，Y）～N（？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，？籽），其中（X，Y）关于X，关于Y的边缘分布均为正态分布，分别为X～N（？滋1，？滓12），X-N（？滋2，？滓22）。

引理1[1] 设？孜■，n≥1是独立同分布随机变量序列，服从[0，1]上的均匀分布，而f是R上的实值连续且周期为1的周期函数，则对？坌x∈R，有■■fx+？孜■→∫■■ f（u）du

注：当x=0时，如果f是[0，1]上的实值连续函数，那么结论亦成立.

引理2[2]（勒贝格控制收敛定理）设

（1）{fn}是可测集E上的可测函数数列；

（2）fn（x）≤F（x）几乎处处收敛于E，n=1，2，…，且F（x）在E上可积分；

（3）fn（x）→f（x），

则f（x）在E上可积且■∫■fn（x）dx=∫■f（x）dx

引理3[3] （辛钦大数定律）

设{？孜■}为独立同分布随机变量序列，并且a=E？孜k（k=1，2，…，n）存在，则{？孜■}服从大数定律，即对任意？着>0，有■P（■■？孜k-a<？着）=1

2.构造概率模型计算积分

指数分布、正态分布都是概率论与数理统计中的重要分布，用它们的性质计算积分不但可以使积分运算过程简单，而且还能够解决微积分中原函数无法用初等函数表示的积分运算。

例1 计算∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx.

解： 如果用广义积分的分布积分法可直接求解，但要用到两次分布积分法，并要求极限.由于这里的被积函数中含有因式e-3x，可看作是参数为？姿=3的指数分布概率密度函数的一部分，故利用指数分布随机变量X～e（3），得

∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx

=■∫■■（6x2+7x+8）3e-3xdx

=■E（6X■+7X+8）=2E（X■）+■E（X）+■

∵E（X）=■，D（X）=■，E（X■）=D（X）+E（X）■=■

∴ ■■∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx=2·■+■·■+■=■.

例2 ■（ax2+bx+c）e-（ix■+jx+k）dx的值。

解： 直接計算是比较麻烦的。现利用随机变量的数学期望与方差公式以及分布函数的性质进行计算。

如果随机变量？孜服从正态分布N（？滋，？滓2），则E（？孜）=？滋，D（？孜）=？滓2，于是

■（ax2+bx+c）e-（ix■+jx+k）dx

=e■a■x2e■dx+b■xe■■dx+c■e■dx

=e■a■■x2■dx+b■■x■dx+c■

=e■a■E（？孜■）+B■E（？孜）+C■

=e■a■（D（？孜■）+[E（？孜）■]■）+b■E（？孜）+c■

=e■[a■■+■+b■-■+c■]

=e■■■+■-■+c. （？鄢）

以此结果可计算■e■dx的值。将a=0，b=0，c=1，i=1，j=0，k=0代入（？鄢）可求出此积分结果为■，这在数学积分中是一种很重要的积分。

运用概率积分的特性，引进正态随机变量不仅可以简化积分的运算，而且可求出数学分析中原函数无法用初等函数表示的积分。

3.构造概率模型求多重积分极限

求多重积分时，用普通的近似方法往往无法实现，因为，这时所需的运算次数是非常惊人的.通过构造独立同分布的随机变量运用辛钦大数定律与勒贝格控制收敛定理，可获得n重积分（n很大时）的近似值，从而解决一些分析中较难处理的多重积分问题。

例3 证明 ■■■…■■dx■dx■…dxn=■.

证： 构造如下概率模型：设随机变量？孜1，？孜2，…，？孜n相互独立且服從相同的均匀分布U[0，1].则？孜1，？孜2，…，？孜n服从分布

f（x1，x2，…xn）=1，当0≤x■≤1，i=1，2，…，n0，其它.

而■■…■■dx■dx■…dxn-■≤■■…■■-■dx■dx■…dxn

=■■■■■-■dx■dx■…dxn+■■■■■-■dx■dx■…dxn

其中

A=（x■，x■，…，x■）■■x■■-■≤？着，■■x■■-■≤？着，0≤x■≤1，i=1，2，…，n，？坌？着≥0（？鄢？鄢）

当0≤x■≤1，i=1，2，…，n时，■-■有界，即存在常数M>0，使■-■≤M

故■■■■■-■dx■dx■…dxn≤M■■■■dx■dx■…dxn

≤M·P■■x■■-■≥？着+M·P■■x■■-■≥？着

又 E（x■■）=■， E（x■■）=■

由引理3可知

■P■■x■■-■≥？着=0，■P■■x■■-■≥？着=0

于是得

■■■■■■-■dx■dx■…dxn=0

另一方面，■■■■■■-■dx■dx■…dxn=■■■■■dx■dx■…dxn= ■■■■■

■dx■dx■…dxn≤■

所以■■■■■■■-■dx■dx■…dxn=0

因此由（？鄢？鄢）式可得■■■…■■dx■dx■…dxn=■.

注：可加以推广，得■■■…■■dx■dx■…dxn=■（q>p>0）.

例4 证明■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■ln2.

证：作变换y=■x，x∈（0，■]

则 x=■y，y∈（0，1]

于是■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■■…■■dy■dy■…dyn考虑独立同分布随机变量序列{？孜n，n≥1}，且？孜n-U[0，1]，令ηn=■■■？孜i，？孜n=■■■？孜i

因f（y）=tan■y，g（y）■y是[0，1]上的连续函数，由引理1，得

ηn→■tan■ydy=-■lncos x│■■=■ln2

？孜n→■■ydy=■

从而序列{ηn/？孜n，n≥1}依概率收敛，且ηn/？孜n→■

又当y∈（0，1]时，0

由引理2，得E（ηn/？孜n）→E■=

■=■ln2/■=■ln2

故

■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn

■■■…■■dy■dy■…dyn

■E（ηn/？孜n）=■=■ln2.

类似还可以证明

■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■.

参考文献：

[1]徐向红.求无穷级数和以及多重积分极限的概率方法[J].工科数学，2002，18（1） ：105-108.

[2]程其襄.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社.2003.

[3]熊丹.例谈概率论在积分计算中的巧妙引用[J].科技信息.2007，9：142.标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0133-02