排列组合问题中的思想方法

张明艳

【摘要】排列组合问题是数学中的一个重要问题.在学习排列组合问题时，渗透了很多数学思想， 有鉴于此，归纳总结常见的数学思想对于学好这部分知识大有益处。本文通过一些例题来介绍几种在学习排列组合中常见的数学思想.

【关键词】 排列组合 分类思想 数形结合思想 对称思想

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0204-02

一、引言

排列组合在数学学习中是较为独特的部分，它研究的对象及研究问题的方法都和以前学习数学知识很不相同.这一部分内容，与旧知识的联系较少，却又显得比较抽象，解题思路与方法比较灵活，是发展逻辑思维能力的很好的内容.排列组合专门研究离散事物按照一定的规则安排或配置的不同方法，通过这一部分内容的学习，我们可以学到某些方法.本文将就这方面的问题进行探讨，以便加深对排列组合解题方法的理解.

二、分类思想

分类思想是排列组合中最为常用的数学思想，它就是按照某一确定的标准，把所要研究的对象分成若干个既互斥又完备的子类的思想。

排列组合问题最常用的方法是分类法，它的基本思想是：当被研究的问题包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我们按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各类相应的结论.

例1.都会划船的10人乘小船游湖，会划左桨的有6人，会划右桨的有7人.从中选6人平分在小船的两舷划桨，不考虑同侧3人的顺序，有多少种选法？

解：由题意，左右桨都能划的有3人.从左右桨都能划的3人中选去划左桨的人数，符合题意的选法可分为四类：左右桨都能划的3人中没有被选去划左桨；左右桨都能划的3人中恰有1人被选去划左桨；左右桨都能划的3人中恰有2人被选去划左桨；左右桨都能划的3人都被选去划左桨.而第一类选法可分为两步：先从只会划左桨的3人中选出3人（有种选法）；再从会划右桨的7人中选出3人（有种选法）.根据分步计数原理，第一类选法共有种选法.同理可得，其他三类选法数分别为根据分类计数原理，符合题意的所有选法数为

例2.七个人排成一列，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同的排法？

分析：考虑元素甲，题中要求甲不在首位，因此甲只能在另外六个位置上，又题中对末位元素有限制条件，而对中间五个位置未加任何限制，所以可将符合条件的排列分为“甲在末位”和“甲不在末位”两类.

所求七人的排法有： 甲在末位时，有种； 甲不在末位且甲不在首位时，有种

根据加法原理知，符合条件的排法有

由上可知，对带限制条件的全排列或选排列问题，可以按某一特殊元素“在某一特殊位置”和“不在这一特殊位置”一分为二地分成两类分别计算排列数，然后根据加法原理相加得解.

三、数形结合思想

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系问题转化为图形的性质问题或把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究的思想.对于某些较为复杂的排列组合问题，可利用数形结合思想，用构造几何图形的方法求解.这样可以体现数学美.

例3.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有多少种？

则D拿C'， C拿D'.这种拿法可表示成异面关系的两条棱，而这样的棱共有3对，所以第一类拿法有3种，第二类是4人循环拿，例如A拿B'， B拿C'， C拿D' D拿A'，（或反序循环），在图中表示为由4条首尾顺次相接的棱构成的空间四边形ABCD，且四边形ABCD的对角线是一对“异面直线棱”，因为图中共有3对这样的棱，所以图中共有3个不同的空间四边形，而每个空间四边形有2种循环序，表示2种拿法，故第二类拿法共有2×3=6（种）.根据分类计数原理，符合题意的拿法共有3+6=9（种）

以上的解题过程主要借助于图形，这就渗透了数形结合的思想，显然这类题型如果不利用图形展开思维，而是让学生凭空想象，几乎无从下手，找不到解题的着陆点.

四、对称思想

对称是美的一种形式.对称思想是数学的基本思想，在数学中有广泛的应用.在解排列组合问题时，如能恰当的利用元素之间位置的对称关系，便可使解题过程显得异常简捷明快.

例4.A、B、C、D、E、F六人排成一排，如果A必须站在B的右边（A、B可以不相邻），那么共有多少种不同的排法？

分析：若逐一罗列“A在B的右边”的情况，考虑起来非常复杂.若考察A、B的位置关系，注意到对立面“B在A的右边”的情况，这两种情况具有对称性，因此它们各占全排列数的一半.这样立即可得问题的答案

参考文献：

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