重视图形几何教学，提高学生推理能力

李树臣��

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“课程设计思路”中提出了十个核心概念，其中之一便是推理能力.针对推理能力，《课标（2011年版）》进一步解释为“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.”在“课程目标”中指出：学生“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践活动中，发展合情推理能力和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”.

我们在认真研读《课标（2011年版）》）的“课程基本理念”和“教材编写建议”的基础上，在整体设计与呈现青岛版《义务教育教科书·数学》（七—九）的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分的课程内容时，“都尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的机会，发展学生的推理能力.”

平面几何内容历来被认为是培养学生推理能力的重要部分，我们在设计青岛版初中数学教科书中的几何部分时，以培养学生的推理能力作为贯穿这部分内容的主线之一，遵循“合情推理——演绎推理——合情推理与演绎推理相结合”的原则，采取“由浅入深”、“循序渐进”的方式展开的，具体说来分为以下三个阶段：1以发展合情推理为主，逐步培养学生的说理能力

这一阶段主要包括6章内容：七年级上册第1章“基本的几何图形”，七年级下册第8章“角”、第9章“平行线”、第13章“平面图形的认识”、八年级上册第1章“全等三角形”、第2章“图形的轴对称”.

这些内容都具有一个基本特点——动手实验，表现为研究图形的方法是以直观观察、测量、展开、折叠、画图、度量、计算为主.这一阶段的主要设计意图是：

1.1培养学生的各种数学能力

在呈现本阶段的几何知识时，我们结合课程内容，精心设计问题（串），以此引导学生进行一系列的数学活动，如观察、实验、猜测、计算、探究、归纳等.学生在经历这些活动的过程中，不仅能掌握“图形与几何”领域的基础知识，形成相应的基本技能，学会探索、发现几何图形性质的一般方法，而且还能养成学生运用数学的思维方式进行思考的意识，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.另外，学生在上述过程中还能感悟基本的数学思想方法、逐步积累基本的数学活动经验.

案例1“三边分别相等的两个三角形全等”的探究发现过程.

“三边分别相等的两个三角形全等”的判定方法是八年级上册第1章“全等三角形”中的内容，教科书用“实验与探究”栏目给出了下面的问题情境：

（1）用三根木条制作一个三角形的架子（图1），再用四根木条钉一个四边形的架子（图2①）.分别拉动这两个架子的边框，你有什么发现？图1图2

（2）如果再取与图1中的三根木条分别相等的木条，再制作一个三角形的架子，这两个三角形架子的形状、大小相同吗？如果把其中一个三角形架子叠放在另一个三角形架子上，它们能重合吗？

（3）通过这个实验，你能得出什么结论？

设计意图青岛版教科书把“三边分别相等的两个三角形全等”作为判定三角形全等的第四个方法，简称“SSS”，是在学习了“SAS”“ASA”“AAS”之后安排学习的.前两个方法都是让学生通过实验、操作、思考、探究发现的，第三个方法是第二个方法的推论，教科书是通过创设问题情境，引导学生通过交流活动自主发现的.对于这个方法我们是用实验操作的方法引导学生自己得到的.学生通过操作（1）将会发现：用三根木条制作的三角形架子，当木条的长度固定后，不论怎样拉动，它的形状、大小不变.而对于四边形的架子虽然它的四条边的长度固定了，但它的四个角的大小并没能随之固定.因而拉动边框时，它的形状、大小可以改变（图2②）.操作（2）将发现用与这三根木条分别相等的三个木条制作的三角形架子与操作问题（1）得到的三角形架子完全重合，从而得到判定方法.

学生在探究这个判定方法的过程中，将会得到下面的性质：只要三角形的三条边的长度确定了，它的形状和大小也就确定了，这个性质是三角形的稳定性，四边形则具备不稳定性.

这样的设计对于培养学生的探究发现能力、抽象概括能力等都是非常有益的，而且这样的实验活动又能将新知识与已有知识有机的结合起来，能增强学生学习的主动性、积极性，对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力也具有重要的意義.

1.2为学习论证推理打好基础

教科书从七年级下册第8章“角”开始逐步渗透说理训练，目的是引导学生会进行简单的演绎推理活动，并引入相对规范的、与证明阶段相衔接的自然语言表达方式，逐步引导学生理解几何命题之间的因果关系，为严格的演绎证明奠定基础.

案例2这两条直线平行吗？

教科书在七年级下册第94“平行线的判定”中，通过引导学生动手操作发现平行线的三个判定方法之后，为引导学生利用这些判定方法学会说理，也为论证推理做铺垫，及时安排了这样一个例题：

如图3，点P，Q为直线AB上的两点，分别

过点P，Q画直线AB的垂线PC和DQ.直线PC与

直线QD平行吗？为什么？

解：PC∥QD.

理由是：在图3中，∠BPC与∠BQD是直线CP，

DQ被直线AB所截得的同位角.

因为CP⊥AB，DQ⊥AB，所以∠BPC=90°，∠BQD=90°.

于是∠BPC=∠BQD，所以PC∥QD.

设计意图本题作为平行线判定方法的应用，从知识方面看，目的是让学生进一步理解和掌握平行线的判定方法，从训练推理能力的角度看，主要是对学生进行三种语言相互转换的训练，从说理的过程看，用了两次“因果关系”进行了简单的推理：（1）因为CP⊥AB，DQ⊥AB，所以∠BPC=90°，∠BQD=90°；（2）因为∠BPC=∠BQD，所以PC∥QD.这样的说理过程实质上就是演绎推理的格式，学生经过长时间类似的训练，就能逐步养成“以理服人”的习惯，也为后面将要学习的演绎推理做好准备.

在教学这一阶段的内容时，教师要做到以下五点：

（1）以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，精心设计问题系列，以此引导学生积极主动的进行探究活动.

（2）给学生留有足够的进行观察、实验、猜测、计算、思考、探究等活动的时间和空间.

（3）在学生探究的过程中给予必要的指导与帮助.

（4）引导学生学会并习惯使用常用几何用语；经常性地进行文字语言、符号语言、图形语言的相互转换训练.

（5）从简单的因果关系开始，循序渐进的进行说理训练，促进学生对因果关系的理解.2以演绎推理为主，培养学生推理论证能力

这一阶段主要指八年级上册第5章“几何证明初步”.教科书首先引入定义、命题等概念，其次通过多个实例让学生明确意识到，以前通过探究得到的一些结论只有通过严格的数学证明才能确认其“真实性”.然后引导学生从已经探究到的结论中选取8个作为“基本事实”，利用它们对某些结论进行证明.

在证明“对顶角相等”和“同角的余角相等”时，第一次采用了“∵…，∴…”的符号语言.给出了定理的完整规范的证明过程，初步建立起了推理论证的“基本模式”：

（1）根据题意，画出图形；

（2）结合图形，根据条件、结论，写出已知、求证；

（3）找出由已知推出求证的途径，写出证明.

最后，教科书对平行线的性质和判定及三角形内角和定理等给出了严格的证明过程，并且又按照上述模式证明了十余个几何定理.

这些问题的证明体现了证明过程的层次性要求：直接可用的条件由多到少；图形及论证过程由简单到复杂；从不需要添辅助线过渡到需要添加辅助线；从命题以“图形和符号语言”形式给出到以“文字语言”形式给出等.这种设计安排体现了《课标2011年版》提出的“重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则”的精神，也符合学生的认知规律.

这样设计的主要意图是：（1）使学生掌握基本的证明方法，体会通过合情推理探索的某些结果，会用演绎推理加以证明，从而完成获得数学结论的过程.（2）逐步积累探寻分析证明思路的经验.

案例3证明“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.”

已知：CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，P是直线CD上的任意一点.

求证：PA=PB.

证明：①当点P不与点M重合时（图4）.

因为PM⊥AB（已知），

所以∠PMA=∠PMB=90°（垂直平分线的定义）.

因为PM=PM（公共边），

MA=MB（垂直平分线的定义），

所以△PMA≌△PMB（SAS）.

所以PA=PB（全等三角形的对应边相等）.

②当点P与点M重合时，

因为MA=MB（垂直平分线的定义），

所以PA=PB（等量代换）.

由①②可知，该命题成立.

设计意图“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.”在第一阶段（八年级上册第2章“图形的轴对称”中），同学们已经利用线段的轴对称性质，通过对折的方法，探索得到，这是合情推理的结果.在学习了演绎推理的证明方法后，首先通过画图，写出已知和求证.然后利用全等三角形性质给予证明.在证明时，分两种情况分别进行，完成对这个命题的证明，从而得到线段垂直平分线的性质定理.这样设计主要是让学生掌握定理的证明过程，明确探索过程与证明过程的区别和联系.

推理证明是学生学习的重点，也是难点.初学时，学生的困难主要表现在三点：（1）不知如何下手；（2）不会用证明的格式；（3）不会把有关的推理组合成完整的证明过程.

为帮助学生掌握并熟练使用推理论证的基本模式进行推理，教师可从三方面入手：

（1）让学生明确推理和证明的区别与联系

所谓推理是从一个或几个已知判断中推出一个新的判断的思维形式，是人们学习和生活中经常使用的思维方式.例如，下面的三个例子就是数学中常见的推理：

例1：若两个角是对顶角，则这两个角相等.所以，如果兩个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角.

例2：因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分.

例3：积的乘方法则的发现过程

①通过给定问题情境，让学生计算下面的结果：

（2a）2=2a×2a=（2×2）×（a×a）=4a2，

②在此基础上，让学生计算：（2a）3=？（2a）4=？

③一般地，设m是正整数，

（ab）m=（ab）·（ab）·…·（ab）m个（ab）=（a·a·…·a）m个a（b·b·…·b）m个b=ambm.

即（ab）m=ambm.

在例1中，“若两个角是对顶角，则这两个角相等”是已知判断.根据“逆否命题相互等价”这一原理（已经知道的判断），得到“如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角”这一新的判断.

例2由“平行四边形的对角线互相平分”和“正方形是平行四边形”这样两个已知的判断，得出新的判断“正方形的对角线互相平分”，这是利用一般原理推出特殊情况下的知识.

在例3中，在对一些具体算式的观察、比较的基础上，通过合情推理，得到（ab）m=ambm.这是从对个别事实的研究中，得到一般性的结论.

这三个例子反映了两种常见的推理：演绎推理（例1和例2）；合情推理（例3）.

而证明则是若干步推理的组合.如下面是“对顶角相等”的证明过程.

案例4证明“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.”

已知：如图5，∠AOC和∠BOD是对顶角.

求证：∠AOC=∠BOD.

证明：因为∠AOC和∠BOD是对顶角（已知），

所以∠AOC+∠AOD=180°，

∠AOD+∠BOD=180°（平角的定义）.

所以∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD（等量代换）.

所以∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）.

上面的证明过程就包括了三步推理：

由∠AOC和∠BOD是对顶角得到∠AOC+∠AOD=180°，∠AOD+∠BOD=180°是第一步推理，从上面两个等式得到∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD是第二步推理，再由∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD得到∠AOC=∠BOD是第三步推理.

（2）引导学生熟悉推理证明的基本要求

证明一个命题的过程是，明确命题的条件和结论，正确地写出已知和求证，会用数学符号语言进行表达；有效的实现符号语言与图形语言的转化；明确每一步推理依据并能准确的表达推理的过程.同时还应注意引导学生分析证明的思路和方法，通过一定数量的推理证明训练，逐步使学生掌握综合法证明的格式和叙述方法.

（3）留给学生独立思考的时间和空间

在学习演绎推理的过程中，学生由已知判断得到一个新的并且对证明给定问题有用的判断需要进行思考、分析才能确定，这个过程需要一定的时间，所以教师必须留给学生相应的思考与交流的时间和空间.另外，学生从开始接触推理论证的基本模式，到能自觉的使用这种格式规范的书写证明过程，需要一个较长的过程，学生只有进行“足量、适量”的练习之后，才能达到这一要求，不可一蹴而就.3合情推理和论证推理相辅相成，提升学生推理能力

在图形与几何部分，教科书始终把合情推理和逻辑推理这两种方式相互交融在一起，在正式学习八年级上册第5章“几何证明初步”之前的各章，以合情推理为主，逐步渗透逻辑推理（说理），同时也为以后正式学习几何证明做好知识和思想方法的铺垫.该章之后，则以合情推理和逻辑推理相辅相成的方式，利用合情推理探索命题，再通过逻辑推理证明结论，使学生逐步学会用数学的思维方式发现问题、提出问题，分析问题和解决问题，以不断提高学生的数学探究能力和推理论证能力.

这一阶段大致包括4章内容：八年级下册第6章“平行四边形”，第11章“图形的平移和旋转”、九年级上册第1章“图形的相似”、第3章“对圆的进一步认识”.综合运用合情推理和演绎推理研究图形，采用“边探索，边证明”的方式学习了大量的性质定理和判定定理.

主要设计意图：引导学生用合情推理探索思路，发现结论，用演绎推理证明结论.让学生搞清定理的来源，分清它们的条件和结论，弄清抽象、概括或证明的过程.做到既知其然，又知其所以然.实现《课标（2011年版）》提出的“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理能力与演绎推理能力”的目的.

案例5“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的发现与证明过程.

对于这个定理，教科书是用以下三个问题引导学生“先发现，再证明”的：

（1）根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，如果把定义中的“两组对边平行”改为“一组对边平行且相等”，你能画出满足这两个条件的四边形吗？

（2）观察你得到的四边形，你猜测它是平行四边形吗？

（3）能证明你的猜测是正确的吗？

已知：如图6，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC.

求证：四边形ABCD是平行四边形.图6图7

证明：如图7，连接AC.因为AD∥BC，所以∠1=∠2.

因为AD=BC，AC=CA，所以△CDA≌△ABC（SAS）.

所以∠3=∠4.所以AB∥CD.

所以四边形ABCD是平行四边形.

设计意图本题的设计分为“画图——猜想——证明”三部分.首先从平行四边形的定义出发，通过将“两组对边平行”改为“一组对边平行且相等”，引导学生按照新的条件自己动手画出图形；然后在观察所画图形的基础上，发现新的命题，提出猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.”最后探索命题的证明过程.在此基础上得到判定定理1.后面将要学习的几个平行四边形的判定定理也是这样安排的.这种设计既能培养学生的合情推理能力，又能培养演绎推理能力，而且对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力也是非常有必要的.

在数学性质、定理的教学中，教师要把重点放在引导学生探索性质、定理的发现过程，证明思路的猜测过程以及证明方法的尝试过程上，因为学生在经历探索、猜测、尝试的过程中，能发展其合情推理能力和演绎推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

教科书在呈现几何内容时，从培养学生推理能力的角度看，经历了三个阶段.这就决定了在数学教学中应把既教会学生猜想，又能把握证明；既能合情推理，又能严格论证作为教学的指导思想.按照“合情推理——演绎推理——用合情推理探索思路，用演绎推理证明”的过程，逐步培养和提高學生的推理能力，形成良好的数学思维习惯，实现《课标（2011年版）》提出的“人人都获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的课程基本理念和课程目标.