抛物线中另一类的定点弦问题

张武党

【摘 要】抛物线是圆锥曲线中较为特殊的一种曲线。焦点弦、定点弦等是圆锥曲线中常见的一类问题。

利用向量的知识解决解析几何问题是新课程，新教材所赋予的新解法。

【关键词】抛物线；定点；垂直；通径

定理1：已知EF是与抛物线C：y2=2px（p>0）相交的一条动直线，AB是抛物线的通径，A（p/2，p），B（p/2，-p）

（1）当，其中时，直线EF过定点M（5p/2，-p）

（2）当，其中时，直线EF过定点N（5p/2，p）

定理2：（1）若抛物线C：y2=2px（p>0）的一条动直线过M（5p/2，-p），与抛物线交于E，F两点，点A是抛物线通径的一个端点坐标为（p/2，p），则必有：

（2）若抛物线C：y2=2px（p>0）的一条动直线过N（5p/2，p），与抛物线交于E，F两点，点B是抛物线通径的一个端点坐标为（p/2，-p），则必有：

先证明定理1，

证明：由题意可设：

直线AE的方程为： ①

直线AF的方程为： ②

由直线AE的方程和抛物线C的方程y2=2px（p>0）联立：

{

y2=2px

解之得：E点坐标为（ ， ）， A（p/2，p）

由直线AF的方程和抛物线C的方程y2=2px（p>0）联立：

{

y2=2px

解之得：F点坐标为（，-2kp，p），A（p/2，p）

则=（），

=（2k2p+2kp-2p，-2kp）

又因为：

（）*（-2kp）=

（2k2p+2kp-2p）*=

所以：（）*（-2kp）= （2k2p+2kp-2p）*

所以：//

又与共点M

所以：M，E，F三点共线。即直线EF过定点M（5p/2，-p）。

同理，可证明（2）也成立。

定理2可看成定理1的逆定理。下证之：

证明：由题意知过点M的直线与抛物线交与两点，所以直线不平行于x轴。

可设直线方程为： （m∈R）

与抛物线方程联立构成方程组

{

y2=2px

消去x得：y2=2pmy+2mp2+5p2

移项得：y2-2pmy-2mp2-5p2=0

解之得：y1=pm + p；y2= pm-p

帶入解得：X 1= pm2 + pm+ mp +

X2= pm2 -pm+ mp +

即点E的坐标为：（pm2 + pm+ mp + ，pm + p）

点F的坐标为：（pm2-pm+ mp + ，pm-p）

则：=（pm2 + pm+ mp+2p，pm + p - p）

= （pm2 -pm+ mp+2p， pm - p - p）

因为（pm2 + pm+ mp+2p）*（pm2-pm+ mp+2p）

=（pm2 + mp+2p）2 -（pm）2

= p2m4+2p2m3+p2m2+4p2+4p2m2+4p2m-p2m4 -2p2m3 -5p2m2

= 4 p2m+4p2

（pm + p-p）*（pm-p-p）

=（pm-p）2 -（p）2

= p2m2-2 p2m + p2-p2m2-2 p2m-5p2

=-4 p2m-4p2

所以（pm2 + pm+ mp+2p）*（pm2-pm+ mp+2p）

=-（pm + p-p）*（pm-p-p）

即：

同理可证（2）也成立。

由作图我们会发现，由A，B，M，N四点所确定的四边形是以抛物线通径为边长，在抛物线内的正方形。连接对角线AM或BN并延长交抛物线分别于P，Q点，则M是线段AP的中点，N是线段BQ的中点。

参考文献：

[1]骆永明.《圆锥曲线中定点与定向弦的探究》.数学通讯，2005（9），证明过程见：2005年第21期13页