初三学生函数概念的表征对函数题解的影响分析

马骞

【摘 要】主要研究函数概念表征对初三学生函数题解的影响，分析了数学表征和数学学习、函数题解之间的关系，并对基于双重编码的函数表征方法和基于双重编码理论的学生函数概念表征进行了讨论，最后着重分析了函数概念表征对函数题解的影响。

【关键字】初三；函数概念；表征

表征是从认知心理学发展到数学学习的过程中对数学对象的替代，通过表征能够帮助学生建立对数学知识点的编码。在大量的教学实践中发现，想要帮助学生对数学题建立编码，需要学生具有相当的知识储备。函数概念表征的形成同样是学生在函数知识学习过程中形成的编码心理，函数概念表征能够提高学生的函数题解能力，在初三数学函数教学中的应该能够加深学生对函数知识的理解。

一、数学表征

主要讨论了数学表征和数学学习之间的关系，并介绍了一种基于双重编码的函数表征方式，对指导初三函数教学有着一定的意义。

（一）数学表征与数学学习能力

学术界对于数学表征概念并没有达成共识，但是基于认知心理学、教育心理学的表征概念理解比较贴合数学教学实际。一般认为，表征就是学生在数学学习过程中将知识点、定义、概念编码化的过程，对知识点的编码有助于学生加快对数学题目的理解，大多数学者都认为，数学表征是学生在理解学习数学知识点时的一个参照物。数学表征有内在表征和外在表征之分，外在表征主要是学生解题过程中，通过观察直接形成的表征，是对题目中的文字、图像以及数字元号的编码化，内在表征则是学生在解题时直接观察头脑中已经形成的抽象编码。由此可以看出，不同数学学习能力的人内在表征能力是存在差异的，一些对数学符号不够敏感的学生将难以形成固化的内在表征，文字、图案编码化程度低，速度慢。

（二）基于双重编码的函数表征

双重编码函数表征理论基于人类的信息编码组织系统理论，佩维奥的研究结果表明，人类有语言系统和心象系统两个信息编码处理系统，其中语言系统专门处理语言相关符号信息，而心象码处理非语言系统的信号表征。无论是心象系统还是语言系统，都能够为内部或外语符号所启动。人的表征系统是多元的，有着多种感受通道，视觉、听觉、触觉，其内部又表现为层级性，言语码一般表现为序列的，心象码则以共时性为主要特征，有整体性、嵌套以及动态共时的特点，在信息加工中，语言系统和心象系统相互独立又密切相关，双重编码理论就是利用了两个系统之间的相互关系，同时从语言和心象两个方面帮助学生形成编码。

根据双重编码理论，学生对某个数学学习对象的深入学习理解必将内化为心象表征和言语表征，且两种编码之间可以相互转换，而在数学教学中，转换是一种非常重要的数学思想，解方程的同解变换就属于言语表征转换，数学模式、几何形体等体积转换就属于心象表征转换。

二、应用函数概念的表征对函数题解的影响

函数表征会直接影响函数题解的能力，在一定程度上，函数表征直接影响学生编码与解题速度，所以学生能否在数学学习中形成系统全面的函数概念表征，对学生函数题解能力有着直接影响，而解题质量和速度和解题数量之间的关系并不强，因此对于初三学生来说，单纯依赖增加计算量对提高学生函数题解的能力贡献不大。

（一）函数概念多元化外在表征呈现

多元外在表征优化的目的是促进学生尽快形成内在表征，方便学生尽快整合知识形成多元码。多元表征能够实现角色互补，实现限制解释以及建构等高级认知功能。在数量上，优化后的多元表征具有对某数学对象完整、互补的全息信息，这一类信息能够促成学生在学习过程中对深层次语言码和心象码形成持续的强化记忆，争取最终形成整合码。

（二）提高学生符号化水平

函数概念表征能够帮助学生提高文字符号化的程度，减少学生将文字、图像、数字转变为符号的时间，这样学生在解函数题时就能够更快的形成函数的概念图，解题方式更加灵活直观，函数概念表征还能够方便进行学生数学认知的调节，学生能够更快从整体上掌握题目要表达的意图，通过大脑内的编码迅速的完成题目理解，加快解题速度。函数概念表征同样还能够培养学生的多向思维，帮助学生尽快形成全面立体的概念认知。然而教师应该注意，概念认知形成的过程本身比较复杂而难于控制，而快速的转换难度很大，学生要具有扎实的基础知识，所以这种教学方式的门槛较高，一些学习能力较差的学生难于掌握。为了避免这种情况，教师在课堂上要有意识的帮助学生完成文字的翻译工作，刺激学生形成对函数题目的直觉，引导学生积极应用符号化概念图解决函数问题。

（三）提高学生解题准确率

帮助学生形成完善系统的函数概念表征，对学生掌握灵活巧妙的函数解题思路有着重要意义，函数概念表征能够在解函数题时自然的形成概念图，而函数的内在表征并不仅仅局限于简单的知识编码，而是形成了全面系统的知识结构，对函数习题解码过程中出现的错漏能够有效规避，最终得出正确的解法。

函数表征在激活知识编码的同时，对学生发展函数概念内在表征也有着一定的帮助，使得学生在解函数题时可以自己察觉更多的解题方法，产生多元化的编码方法，对所掌握的函数概念快速整合和符号化，学生解题能够更有逻辑性，真正实现函数概念的系统化学习。

（四）帮助学生形成优化函数认知结构

传统的函数课堂教学中教师大量应用语言化表征，导致学生形成的认知结构存在着语言表征的显著特点，表现为孤立、破碎、缺乏生长点，函数概念图的应用则能够弥补语言表征的这些缺陷，平衡学生左右脑之间的负担，同时建立函数概念的语言表征和心象表征。

在大量的教研工作中，都发现应用概念图进行函数教学能够十分清晰的为学生展示各种复杂函数关系，对帮助学生形成自己的想法和解题步骤有着一定的帮助，能够带动学生主动应用排序、比较、分类等解题策略灵活的完成函数计算。采用概念图的形式建立的数学知识信息结构方便学生接收新的知识，便于对错误进行修改，弥补知识结构中的空缺。

三、结语

建立对函数概念的正确认知是初中数学函数学习中非常关键的一步，建立对函数概念的双重表征，无论对学生函数题解能力的提高还是之后的数学学习都有很大帮助，对于初三学生来说，函数概念表征对培养学生的数学和函数思维有着一定帮助，促进学生完成从概念理解到具体解题方法的转变，因此，教师在初三函数教学中应该将函数概念表征作为非常关键的一个授课内容，让学生尽快將抽象文字表征转变为概念图等形式的心象表征，培养学生函数表征思维能力。

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