高等数学中不等式证明的几种方法

吕淑君

【摘 要】不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。本文通过高等数学的一些原理和方法，给出了不等式证明的几种比较常用的方法。

【关键词】不等式，证明方法

一、利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f（b）-f（a）=f（ξ）（b-a ）。

例1.证明：x>0时，有x>ln（x+1）

证明：设f（x）=ln（x+1） ，显然函数f（x） 在区间[0，x] 上满足拉格朗日中值定理的条件，

根据定理的条件有：

f（x）-f（0）=f（ξ）（x-0 ），

其中0<ξ

由于f（0）=0，f（x）=，

则上式即为f（x）=，

又因为0<ξ

所以就有<ln（x+1）。

注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是根据所给不等式，选取或构造适当的辅助函数f（x）和区间（a，b），通过ξ的范围，根据导函数f（x）确定f（ξ）和分式的范围，从而得证。

二、利用函数的单调性证明不等式

函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x）>0，则f（x）在区间[a，b]上单调增加；（2）f?（x）<0，则f（x）在区间[a，b]上单调减少。

例2.证明：x>0时，1+>

证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+∞）上连续，在（0，+∞）内f?（x）>0，因此f（x）在[0，+∞）上单调增加。从而当x>0时，f（x）>f（0）。由于f（0）=0，故f（x）>f（0）=0。即>0，亦即1+>。

注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f?（x）的符号判定函数f（x）在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。

三、利用函数的凹凸性证明不等式

函数凹凸性的定义：设f（x）在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两点x1，x2，恒有f（（x1+x2）/2）≥f（x1）+f（x2）/2，则称f（x）在[a，b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2）/2）≤f（x1）+f（x2）/2，则称f（x）在[a，b]上是凹函数。

函数凹凸性的判定定理：设f（x）在[a，b]上连续，在区间（a，b）内有二阶导数，（1）如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）<0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凸的。

例3.证明：a>0，b>0且a≠b，n>1时，<

证明：令f（x）=xn，x?（0，+∞），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+∞），都有>0。根据函数凹凸性判定定理，f（x）在（0，+∞）内是凹的；由函数凹凸性定义，对任意的x，y?（0，+∞），且x≠y，有<，即。

注： 利用函数的凹凸性证明不等式，首要问题是找到辅助函数f（x），然后判定函数f（x）在指定区间上的凹凸性，最后根据凹凸性定义，导出所要证明的不等式。

四、小 结

用高等数学的相关知识来证明不等式的方法比较多，除上述为大家介绍的几种方法之外，还有用积分中值定理、函数的极值等有关知识，以及积分不等式、柯西施瓦茨不等式等已经知道的重要不等式来证明不等式的方法。總而言之，因为不等式的题型特殊，证明方法灵活多变，想要真正掌握不等式的证明，不但要有广泛的数学知识和一定的方法技巧，而且要在学习实践过程中多练习，多思考，多归纳。

参考文献：

[1]《数学分析》.第二版.华东师范大学数学系编.高等教育出版社，1997.4.

[2]《高等数学》.第五版.同济大学应用数学系编.高等教育出版社，2002.2.

[3]《数学分析》. 第二版.复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.7.