曲线的切线与导数关系

刘春生

摘 要：如果存在，曲线在点存在切线，这是大家都知道的常识，但是很多教材和辅导书上都没有讨论如果不存在，是否曲线在点不存在切线。本文主要就是讨论了该种情况。

关键词：邻域；切线；连续导数

曲线的切线是反映切点处曲线局部特征的重要直线，但是在教学中发现，很多大学生受到高中阶段切线概念的影响，对曲线的切线概念的理解存在偏差，另一方面，一般的辅导书和教材对曲线在可导点处的切线都有介绍，但对于在不可导点处的切线的存在性，基本没有讨论，因此在讨论曲线的时候往往容易发生遗漏，或者在理解上有误区。本文就切线的定义，切线的存在性进行了完整讨论，以帮助大学生更加深刻理解切线与导数的关系。

一、切线的定义

给定曲线，点为曲线上的两点，称为曲线的割线，当沿曲线趋于点M时，割线的极限位置称为曲线在点处的切线。

由该定义可以看出来，曲线在点处的切线只与该点处的领域内的形态有关。高中阶段所学的关于圆的切线只是该定义的一种特殊情况。但是关于圆的切线结论并不适合一般曲线。比如，直线与圆的切线相切的充要条件是直线与圆的交点只有一个，这个结论就不适合一般曲线，事实上，曲线与直线虽然只有一个交点，但直线并不是曲线的切线；而曲线与直线虽然有无穷多个交点，但是直线却是曲线的切线。

二、切线的存在性

根据导数的定义可得到以下结论

結论一：设在的邻域内有定义，若存在，则曲线在点处有切线，而且切线的斜率。切线方程为

特别地：若，则曲线在点处有水平切线

例（1）在点处导数，故在处切线方程为，

即：

结论二：设在的邻域内连续，若不存在，但且，则曲线在点处有垂直切线。

例（2）曲线在的邻域内连续，在处的导数不存在，

但故在点处有切线

结论三：设在的邻域内连续，若不存在，但与不同时成立，则曲线在点处无切线。

例（3）1.曲线在的邻域内连续，在处的导数不存在，而且故在点处无切线

2.曲线在的邻域内连续，在处的导数不存在，而且故在点处无切线

结论四：设在（或者）上连续，若（或者）存在，则曲线在点处有切线，而且切线的斜率（或者。切线方程为

或者

例（4）曲线在上连续，且在点处，故在处有水平切线。

结论五：设在（或者）上连续，若（或者）存在，则曲线在点处有垂直切线

例（5）曲线在上连续，且在点处，故在处有垂直切线。

结论六：设在（或者）上连续，若（或者）不存在，且不为无穷大，则曲线在点处无切线。

例（6）曲线在上连续，但在点处

不存在且不为无穷大，故在处无切线。

注：如果曲线在点既不左连续，又不右连续，则曲线在点处无切线。

参考文献：

[1] 同济大学应用数学系主编教材《高等数学》第六版 高等教育出版社.

[2] 吴赣昌主编教材《高等数学》理工类 第四版 人民大学出版社.