曲线的切线与导数关系

2015-07-04 03:19刘春生
世纪之星·交流版 2015年4期
关键词:切线邻域

刘春生

摘 要:如果存在,曲线在点存在切线,这是大家都知道的常识,但是很多教材和辅导书上都没有讨论如果不存在,是否曲线在点不存在切线。本文主要就是讨论了该种情况。

关键词:邻域;切线;连续导数

曲线的切线是反映切点处曲线局部特征的重要直线,但是在教学中发现,很多大学生受到高中阶段切线概念的影响,对曲线的切线概念的理解存在偏差,另一方面,一般的辅导书和教材对曲线在可导点处的切线都有介绍,但对于在不可导点处的切线的存在性,基本没有讨论,因此在讨论曲线的时候往往容易发生遗漏,或者在理解上有误区。本文就切线的定义,切线的存在性进行了完整讨论,以帮助大学生更加深刻理解切线与导数的关系。

一、切线的定义

给定曲线,点为曲线上的两点,称为曲线的割线,当沿曲线趋于点M时,割线的极限位置称为曲线在点处的切线。

由该定义可以看出来,曲线在点处的切线只与该点处的领域内的形态有关。高中阶段所学的关于圆的切线只是该定义的一种特殊情况。但是关于圆的切线结论并不适合一般曲线。比如,直线与圆的切线相切的充要条件是直线与圆的交点只有一个,这个结论就不适合一般曲线,事实上,曲线与直线虽然只有一个交点,但直线并不是曲线的切线;而曲线与直线虽然有无穷多个交点,但是直线却是曲线的切线。

二、切线的存在性

根据导数的定义可得到以下结论

結论一:设在的邻域内有定义,若存在,则曲线在点处有切线,而且切线的斜率。切线方程为

特别地:若,则曲线在点处有水平切线

例(1)在点处导数,故在处切线方程为,

即:

结论二:设在的邻域内连续,若不存在,但且,则曲线在点处有垂直切线。

例(2)曲线在的邻域内连续,在处的导数不存在,

但故在点处有切线

结论三:设在的邻域内连续,若不存在,但与不同时成立,则曲线在点处无切线。

例(3)1.曲线在的邻域内连续,在处的导数不存在,而且故在点处无切线

2.曲线在的邻域内连续,在处的导数不存在,而且故在点处无切线

结论四:设在(或者)上连续,若(或者)存在,则曲线在点处有切线,而且切线的斜率(或者。切线方程为

或者

例(4)曲线在上连续,且在点处,故在处有水平切线。

结论五:设在(或者)上连续,若(或者)存在,则曲线在点处有垂直切线

例(5)曲线在上连续,且在点处,故在处有垂直切线。

结论六:设在(或者)上连续,若(或者)不存在,且不为无穷大,则曲线在点处无切线。

例(6)曲线在上连续,但在点处

不存在且不为无穷大,故在处无切线。

注:如果曲线在点既不左连续,又不右连续,则曲线在点处无切线。

参考文献:

[1] 同济大学应用数学系主编教材《高等数学》第六版 高等教育出版社.

[2] 吴赣昌主编教材《高等数学》理工类 第四版 人民大学出版社.

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