相容半Scott拓扑

李海龙，姜广浩，占诗源，张鹏垚

（淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000）

1 前言

由于Scott，Lawson，Plotkin等人的工作，连续格理论引起人们的广泛兴趣［1-3］.Scott拓扑是domain上最重要的内涵拓扑之一，且在连续domain上又有一些较好性质.1997年，赵东升［4］基于半素理想，将连续格推广到半连续格.2008年，毕含宇等［5］在完备格上引入了半Scott拓扑，并讨论在半连续格上的一些性质.受到以上作者的启发，本文在相容完备格上引入相容半Scott拓扑，讨论它在相容半连续格上的若干性质.

定义1.1［6］设L是格，I⊆L是理想，若对任意x,y,z∈L，当x∧y∈I，x∧z∈I时有x∧ (y∨z)∈I，则称I为L的半素理想.Rd(L)表示L中所有半素理想构成的集合.

2 相容半Scott拓扑

定义2.1设L是格，∀x,y∈L，如果对 ∀S∈Rd(L)，若 supS存在，且y≤ supS，有x∈S.则称x弱 ⇐关系y，记为x⇐wy.

定义2.2设L是格，S∈Rd(L)称为L的相容半素理想，如果存在x∈L使得S是L的相容半素理想｝.

例1格L如图1所示：

图1 S={a,b,c}是L的相容半素理想

图2 R={a,b,c,d,e}是半素理想，但不是相容半素理想

例2格L如图2所示：

定义2.3若格L中任意相容半素理想都有并和交，则称L是相容完备格.

定义2.4设L是相容完备格，∀x,y∈L，x称为相容⇐关系y，记为x⇐cy，如果对∀S∈Ic(L)，若y≤supS有x∈S.记为 ⇓cy=｛x∈L：x⇐cy｝.

定义2.5设L是相容完备格，若对 ∀x∈L有x≤sup ⇓cx，则称L为相容半连续格.

定义2.6设L是相容完备格，U⊆L，若满足（1）U=↑U，（2）若 ∀S∈Ic(L),supS∈U⇒U⋂S≠ ∅，称U为相容半Scott 开集.L中相容半Scott 开集构成的拓扑称为相容半Scott 拓扑，记为σc(L).相容半Scott开集的补集称为相容半Scott闭集.

相容完备格L的子集X称为具有性质（M），若X满足：∀S∈Ic(L)，若 supS∈X，则 ∃y∈S,使 ∀x∈S,x≥y⇒x∈X.

定理 2.1设L为相容完备格，A⊆L，若A为相容半Scott 闭集⇔A为下集且对相容半素理想并封闭.

证明设A为相容半Scott闭集⇔LA为相容半Scott开的⇔LA是上集且∀S∈Ic(L), 若 supS∈LA,有LA⋂S≠ ∅ ⇔A为下集且 ∀S∈Ic(L), 若LA⋂S=∅ 有 supS∉LA.⇔A为下集且 ∀S∈Ic(L)，若S⊆A有supS∈A.⇔A为下集且对相容半素理想并封闭.

定理2.2设L为相容完备格，A⊆L，若A为相容半Scott开集⇔A为上集且有性质（M）.

证明“必要性”A为相容半Scott 开集，则A是上集且∀S∈Ic()L，若 supS∈A，有A⋂S≠ ∅ .从而∃y∈A⋂S，对 ∀x∈S,x≥y，由A是上集知x∈A，故A具有性质（M）.

“充分性”由A具有性质（M），则 ∀S∈Ic()L，若 supS∈A，则 ∃y∈S,使∀x∈S,x≥y有x∈A.从而A⋂S≠ ∅，故A为相容半Scott开集.

定理 2.3设L为相容完备格，则L的任一下集都具有性质（M）.

证明设A为L的任一下集，∀S∈Ic()L，若 supS∈A，由A为下集，故 ∀x∈S有x∈A.故A有性质（M）.

定理2.4设L为相容完备格，若存在相容半Scott开集U使y∈U⊆↑x，则x⇐cy.

证明设存在相容半 Scott 开集U，使y∈U⊆↑x，∀S∈Ic()L，若y≤supS，由U为上集，有supS∈U，又由U为相容半Scott开的，有U⋂S≠ ∅ .即 ∃z∈U⋂S，由U⊆↑x，有x≤z∈S.又S为下集，于是有x∈S，由⇐c的定义知x⇐cy.

定理2.5设L是相容完备格，∀x∈L，⇓cx为L的相容半素理想.

证明首先证 ⇓cx为理想，对 ∀a∈⇓cx，∀b∈L，若b≤a，由定理2.1 知b∈⇓cx，故 ⇓cx为下集，对∀y,z∈ ⇓cx，由 ⇐c的定义知 ∀S∈Ic(L)，x≤supS有y,z∈S.由S为理想，故y∨z∈S，从而y∨z∈⇓cx，所以 ⇓cx为理想.再证 ⇓cx为半素理想.设a∧b∈⇓cx,a∧c∈⇓cx，由 ⇐c的定义知，对 ∀S∈Ic(L)，若x≤ supS有a∧b∈S,a∧c∈S.由S为半素理想，有a∧ (b∨c)∈S.再由 ⇐c的定义知a∧ (b∨c)∈ ⇓cx，故⇓cx为半素理想.

下证 ⇓cx为相容半素理想.∀a∈⇓cx，由 ⇐c的定义知，∀S∈IU(L)，若x≤supS，有a∈S.从而⇓cx⊆S，又S为相容半素理想，从而∃b∈L使得S⊆⇓cb，即 ⇓cx⊆⇓cb，故 ⇓cx为相容半素理想.

定理2.6设L为相容半连续格，则对∀U⊆σc(L)有U⊆⋃{⇑cx:x∈U}.

证明，由L为相容半连续格，则x≤sup ⇓cx，由U为上集知 sup ⇓cx∈U，由定理2.5知 ⇓cx∈Ic(L)，又由U为相容半Scott开的，所以有 ⇓cx⋂U≠∅ .设y∈⇓cx⋂U，即y∈⇓cx且y∈U，从而x∈ ⇑cy，y∈U，故U⊆ ⋃{⇑cx:x∈U}.

定理2.7设L为相容半连续格，则对 ∀x∈L，有L↓x∈σc(L).

证明显然L↓x为上集，设 ∀S∈Ic(L)，若 supS∈L↓x，假设S⋂(L↓x)=∅ .则有S⊆↓x，从而 supS≤ sup ↓x=x矛盾.所以S⋂ (L↓x)≠∅，从而L↓x为相容半Scott开集.

定义2.7设L是相容半连续格，f:L→Q是保序映射，若对 ∀S∈Ic(L)有f(s upS)=supf(S)，且↓f(S)∈Ic(Q)，则称f为强相容半连续的.

定义 2.8设L,L′为相容半连续格，映射f:L→L′关于相容半Scott拓扑连续，则称f是相容半Scott连续映射.

定理2.8设L,L′为相容半连续格，若f:L→L′是强相容半连续的保序映射，则f为相容半Scott 拓扑连续.

证明对 ∀U⊆σc(L′)，由f保序知，f-1(U)为L的上集.设 ∀S∈Ic(L)，若 supS∈f-1(U)，由f为强相 容 半 连 续 的，有f(s upS)=supf(S)=sup ↓f(S)∈U，且 ↓f(S)∈Ic(L)，由U⊆σc(L′)，有↓f(S)⋂U≠∅，从而 ∃x∈↓f(S)⋂U，于是 ∃s∈S，使x≤f(s)，即f(s)∈↑x⊆U，从而s∈f-1(U)，故S⋂f-1(U)≠∅，由相容半Scott 开集定义知，f-1(U)为L的相容半Scott 的开集，从而f为相容半Scott 拓扑连续.

［1］BARANGA A.Z-continuous posets［J］.Discrete Math，1996，152：33-45.

［2］ABRAMSKY S，JUNG A.Domain theory.Handbook of logic in comuter sci（vol.3）［M］.Oxford：Clarendon Press，1994.

［3］GIERZ G.A compendium of continuous lattices［M］.Cambridge：Cambridge University press，2003.

［4］ZHAO D.Semicotinuous lattice［J］.Algebraic Universalis，1997，37（4）：458-476.

［5］毕含宇，徐晓泉.半连续格上的半Scott拓扑与半Lawson拓扑［J］.模糊系统与数学，2008，22（2）：75-81.

［6］李高林，徐罗山，陈昱.半连续格上的半基和局部半基［J］.模糊系统与数学，2010，24（1）：51-55.