对2009年上海高考试卷一道试题的商榷

龚劲涛 冯文林

（1绵阳师范学院物理与电子工程学院，四川 绵阳 621000；2重庆理工大学光电信息学院，重庆 巴南 400054）

恒定功率的启动方式因其达到最大速度用时短位移小，而被方程式赛车所普遍采用，同时与之相关的习题和试题也广泛出现在各种辅导材料和考试中，是考核机车启动类问题的常见形式之一.但这类问题的题设有时却因出题者的疏忽或想当然，造成与实际的错位，甚至引发错误.首先请看2009年上海高考试卷的一道试题.

例1（2009年上海高考试卷20题）质量为5×103kg的汽车在t＝0时刻的速度v0＝10m／s，随后以P＝6×104W的额定功率沿平直公路继续前进，经72s达到最大速度，设汽车受到恒定阻力，其大小为2.5×103N.问（1）汽车的最大速度vm；（2）汽车72s内经过的路程s[1].

解：（1）功率一定，速度增大牵引力减小，汽车作加速度越来越小的变加速运动，当牵引力（F）等于阻力（f）时，速度达到最大值，即：P＝Fv＝fvm，得

该试题的求解过程显然正确，并没有不合理之处.但题设“经72s达到最大速度”这一条件却与实际不符，下面就对此进行讨论.首先通过微积分运算推导出运动时间与运动速度之间的关系.

式（1）就是该汽车以额定功率启动时其时间、速度、阻力和功率之间的定量关系，而当v＝P／f或fv＝P时，t→∞，说明当汽车以额定功率启动并保持额定功率运行时，在理论上最大速度永远不可能达到.那么是不是这类问题就应该无解，没有讨论的价值呢？显然不是，虽然理论上最大速度值不可能达到，但从模型法分析问题的角度我们可认为：在实际速度足够接近最大速度时可视为达到最大速度，就如在摩擦力足够小时可以视为光滑面处理一样是同一个道理.那么如何认定足够接近最大速度的大小呢？按照处理问题时常采取的标准，取v＝99%vm＝23.76m·s-1，代入式（1）可知所需时间约为112s.而代入t＝72s，利用Excel的单变量解方程功能求解上述方程，得到的速度约为22.1m·s-1，只有最大速度24m·s-1的92.1%，由此可见题设给出的“经72s达到最大速度”显然与实际还有一定差距，与实际情形不太相符.

接下来我们分析另外一道习题：

例2质量为2×103kg的汽车，发动机的额定功率为60kW.假设汽车在平直公路上从静止开始以额定功率加速运动，汽车受到的阻力恒定，经过150m后达到最大速度，其大小为30m·s-1.求：

（1）汽车所受阻力的大小；

（2）汽车做加速运动的时间[2-4].

常见解法如下：

解：

（2）根据动能定理：

图1 速度时间图

上述解法同样没有不当之处，但若利用速度时间（v-t）图像分析，如图1所示，经过20s汽车位移显然应当在：300m＜s＜600m之间，而不可能是题干中给出的150m，现对此进行分析：

将式（2）代入式（1），得

从式（4）看出当汽车以额定功率从静止开始启动并在行驶中保持功率不变，在阻力恒定时，汽车运动的时间、速度、位移三者之间的关系唯一确定，不能任意假设.那么题设中 “经过150m后达到最大速度”这一条件是否符合式（3）给出的运动关系？如果不符合，那么汽车经过多少米才能达到最大速度？同理取v＝0.99vm＝29.7m·s-1时，我们近似认为达到最大速度，代入式（2）得相应位移应为2813m；代入（3）式时间t＝108s；若取v＝0.999vm＝29.97m·s-1为最大速度，相应的位移和时间应为4869m和177s.而即使取v＝0.90vm＝27m·s-1，得到的位移和时间也应是898m和42s，由此可见题设中的经过150m达到最大速度的假设是与实际完全不符的错误假设.

从以上两个典型问题的分析不难看出对于机车额定功率启动问题的设置应符合：运动的时间、速度、位移三者之间的运动关系，不能随意假设，同时应在设定最大速度时注意与实际尽可能保持一致，希望出题者在涉及此类问题时引起重视.

[1]赵曰峰，赵林明，等.谈汽车以额定功率启动达到最大速度的时间[J].物理教师，2014（4）：58.

[2]蔡志东.功率一定，力和速度成反比的现象能发生吗[J].物理教学，2008（12）：9-11.

[3]蔡志东.不可能出现“功率一定，力和速度成反比”的现象：由一道经典习题引发的思考[J].物理教师（高中版），2008（12）：30-32.

[4]赵灿冬.对一道汽车加速典型习题的质疑[J].物理教师，2007（2）：29-30；31-32.