向量在代数中的应用

廖红艳

(重庆市万州第二高级中学，重庆万州 404100)

向量在代数中的应用

廖红艳

(重庆市万州第二高级中学，重庆万州 404100)

向量融数、形于一体，是中学数学知识的一个交汇点．它以几何的形式出现，在几何中应用非常广泛，其实利用向量的有关知识和运算方法解决代数和三角问题，就能划繁为简、划难为易，起到事半功倍的效果．向量作为一种工具，为解决中学数学问题提供了新的思路，进一步拓宽了思维渠道．

向量；代数；三角

向量知识已经进入高中教材中，其应用价值已被广大师生认可．熟练掌握向量性质、特征及运算规律，为解决代数、三角问题提供了新颖、简洁、精妙的思想和方法．用向量的方法解决问题的一般程序：

第一步：构造必要、足够的基本向量；

第二步：搞清问题中待解决的目标所相应的向量表示形式；

第三步：根据已知条件和所求进行必要的向量运算直至问题解决[1]．

1 利用向量证明有关不等式

不等式的证明在高中数学中是一个重点，同时也是一个难点．应用常规的方法证明不等式往往繁杂冗长，而利用向量的方法简洁、明了．

证明不等式主要依据下列向量不等式[2]：

结合向量的运算规律和不等式的特征，利用向量解决问题的一般程序证明不等式．

例1 已知a、b、x、∈yR，且a2+ b2= 1，x2+ y2= 1；求证：|ax + by| ≤ 1．

分析：观察a2+ b2= 1，x2+ y2= 1方程的左边与向量的模的计算公式相似．ax + by又符合向量数量积的坐标运算公式，所以利用向量的方法解决此题更容易，更简单．

例2 证明柯西不等式

分析：观察柯西不等式的结构特征，结合向量的模的公式、向量数量积的坐标运算公式及向量不等式，构造经过运算得到证明．

分析：f（x）=（1+x2）1/2的形式与向量模的公式相同，则f（a），f（b）分别等于的模，而根据则得证．

2 利用向量求解无理函数最值问题

按常规的方法求解无理函数最值问题具有一定的难度，若能用向量的知识解答将会变得简单，其中主要是利用向量的几个性质：

当且仅当pn=qm时等号成立．

无理函数的最值问题种类繁多，不过也可以归纳为以下四大类型：

的最大值．

求解这种类型的无理函数的最值时，首先，将根号下的式子配方，调节根号外未知数次数为一的项，然后构造向量使得模为常数，最后利用向量的性质及运算规律求解．

在求解此种类型的无理函数的最值时，首先将根号下的式子配方，然后构造两个向量，使得向量的模的平方分别等于根号下的式子，最后利用向量的性质及其运算规律求得最值．

（4）其它类型

观察待解决的无理函数的特征，构造必要、足够的向量，结合向量的性质及其运算规律，求出函数的最值．

例7 设ix)2007,,3,2,1(······=i为正实数，且试求的最小值．

例8 已知a，b，c，d∈R，求的最小值．

解：构造向量

由性质3，得

3 利用向量解决三角问题

平面向量的数量积的定义，将平面向量与三角函数融为一体，体现了向量的长度和三角函数之间的关系，为运用平面向量解决三角问题创造了有利的条件．若能构造恰当的平面向量，通过平面向量的运算来处理，往往可以收到事半功倍的效果[3]．

利用向量的方法解决三角问题，仔细观察三角问题的结构特征，构造必要、足够的基本向量，最典型的就是两角和与差的余弦公式证明，余弦定理的证明；然后利用向量的性质、向量不等式及其运算规律解决问题．

分析：观察两角差的余弦公式的右边，是两个向量的数量积，可以构造

结合向量的数量积公式，容易得到证明．

（2）当θ=（β- α）时，cosαcosβ+sinα sinβ

解：如图3.1，在单位圆O上取七个等分点A、B、C、D、E、F、G，则

作为一种数学工具的向量，它不仅为几何代数化、代数几何化带来了极大的方便，而且使它成为联系多项内容的媒介．如能灵活使用向量的有关知识和运算方法，可以使一些数学问题避免繁杂的运算，降低计算量，不仅新颖，而且简单明了，做到解题有规可循、有法可用、化难为易[4]．让学生掌握好向量的知识和运算方法，增强学生应用向量的意识，提高学生应用向量的能力，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于学生的思维能力、创新意识的培养，有利于学生分析和解决数学问题的能力的培养．

图1

[1]薛金星.高考总复习全解：数学B版[M].西安：陕西人民教育出版社，2005.

[2]薛金星.高中数学：必修5[M].北京：人民教育出版社，2012.

[3]过大维，钱军先.挖掘向量的应用功能，发挥向量的工具作用[J].数学教学通讯，2004（4）.

[4]於增辉.浅谈平面向量的应用[J].高中数学教与学，2003（12）.

（责任编辑：于开红）

Application of Vector in Algebra

LIAO Hongyan
(Chongqing Wanzhou Second Senior High School, Wanzhou, Chongqing 404100)

Vector, integrating number and shape, is a meeting point of middle school mathematics knowledge. It takes a geometric form and is widely used in geometry. In fact, it can simplify the complex and make the difficult easy by using the relevant knowledge, the operation method of vector can be used to solve algebra and trigonometry problems, and better results are obtained with less effort. As a tool, Vector provides a new way to solve the middle school mathematics problems and further broadens the thinking channel.

vector; algebra; trigonometry

G812.78

A 文章编号：1009-8135（2015）03-0020-05

2015-03-22

廖红艳（1982-），女，重庆万州人，重庆市万州第二高级中学教师，主要研究数学教学．