突出理性思维 弘扬数学文化——数学文化在高考试题中的渗透

陈昂 任子朝

突出理性思维 弘扬数学文化
——数学文化在高考试题中的渗透

陈昂 任子朝

数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索、形成的数学史，数学精神及其应用。高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学文化。通过这种渗透，有效促进学生理性思维的发展。

理性思维；数学文化；高考；数学应用

1 数学文化的内涵

近些年来，人们对数学的内在价值和认识不断突破发展，对由此产生的数学文化研究更是得到了国内外数学家、教育家的关注。李大潜院士曾提出：“数学是一种先进的文化，是人类文明的重要基础。它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用，占有举足轻重的地位。”[1]课程标准中也提出要了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观，提倡体现数学的文化价值。[2]

数学文化是数学史、数学与文化学、社会学的交叉学科。[3]关于数学文化概念界定的文章较多，黄秦安认为数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化对象[4]。郑毓信等对数学文化的定义还有另外一种解释，“即一种由职业因素联系起来的特殊群体，数学共同体所特有的行为、观念和态度等。”[5]顾沛给出的数学文化的定义为：“数学文化”一词的内涵，简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。”[6]代钦则认为“数学文化是数学知识、思想方法及其在人类活动的应用以及与数学有关的民俗习惯和信仰的总和”。[7]这些定义从不同方面论述了数学文化的内涵，通过比较这些不同定义，我们可以发现数学文化的最主要内涵是一种理性思维方式在实践过程中的不断探索，形成的数学史、数学精神及其应用。

2 高考试题中的数学文化

数学文化体现了数学的人文价值和科学价值，在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色。近年来，高考数学科试题中也开始渗透数学文化，主要体现在以下三个方面。

2.1 渗透中国古代数学史考查

数学是一门层层递进发展的学科。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。[8]因此数学史对学生数学素养的培养起着重要的作用。数学史作为试题背景，主要包括数学家生平故事，数学史事件，数学名著，数学名题，数学发展的历史等。以数学史为试题情景材料，可以引导中学生理解数学、培养学习数学的兴趣起到积极的推动作用；可以让学生感受数学家的崇高品质以及探究解决数学问题的过程；可以弘扬中国优秀传统文化，并使潜移默化增加学生的爱国主义情感。

例1：我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径。“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式人们还用过一些类似的近似公式。根据π=3.14159...判断，下列近似公式中最精确的一个是

例2：我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中积水深九寸，则平地降雨量是__寸。

中国古代数学取得了极其辉煌的成就，出现过刘徽、祖冲之等伟大的数学家，以及众多数学名著，其中《九章算术》便是其中的代表作。这些中国古代数学名著是我们的丰富宝库，是灿烂悠久的中华文明的重要组成部分。中国古代数学遵循“经世致用”，涉及的研究大多与实际生活、生产结合紧密，具有浓厚的实际背景，其体现出明显的问题式、综合性和算法化的特征。这样设计的试题，考查中学立体几何中空间几何体部分的重要知识与算法结合在一起进行考查，既符合考生的认知水平，又可以引导考生关注中华传统文化。

2.2 渗透数学精神

数学是学习、培养理性思维的一个主要途径。数学精神其内涵是人们在依靠思维能力对感性材料进行一系列抽象、概括、分析和综合，形成概念、判断或推理的认识过程中反映出的，重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系的精神。[9]它表现为一种信念，表现为对真理的追求，表现为一种基于事实的，正确合乎逻辑的推理形式。在试题中渗透数学精神，可以从以下几个方面做起：①体现反思性；②体现探究性；③体现独立思考。

例3：（Ⅰ）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值；

（Ⅱ）一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值。

本题含有两个小问，都是求表面积的最小值。在第（Ⅰ）问中，给出的几何图形是具体的：正四棱锥，所给的体积也是一个固定值，在这样的背景条件下，让考生求四棱锥的表面积，试题所给的内容知识是学生常见的。第（Ⅱ）问则是在第（Ⅰ）问的前提下，更进一步，给出了正n棱锥这样一般几何图形，这样考生思考起来时，不大利于直观地画出几何图形进行思考。但是通过与第（Ⅰ）问进行比较可以发现，学生可以通过类比方法解决问题。在解题的过程中，学生会发现解题的思路是伴随着反思的，首先就一个特殊情况进行解题（第（Ⅰ）问），然后我们就一类普遍的情况进行研究（第（Ⅱ）问）。当对普遍情况进行研究时，则需要我们对特殊情况的解题进行分析和反思。通过这样的思维活动，也正好体现了数学的一般发展过程：从特殊到一般。

例4：为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量。A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如图1所示）。飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离。请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

图1

试题以“不可到达两点”的距离测量为素材，要求考生对解题策略、方法进行探究。题目没有像传统的三角测量题目一样给出测量的方法和测量到的数值，要求考生用公式进行计算，而是给出了飞机航测可以测量的基本数据，为考生创设一个主动探究的学习环境。要求考生对测量的要求有整体的把握和通盘的考虑，设计测量和计算的方案，然后自己确定需要测量的数据，并且可以利用这些数据和三角知识计算两点间的距离。学生通过自主操作和合情推理提出猜想，通过演绎推理证实或证伪猜想。

例5：已知函数f(x)=ex-e-x-2x。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；

独立思考指的是敢于冲破习惯思维的束缚打破常规去思考问题，运用判断、归纳、演绎、比较、概括等方法辩证地讨论问题的各个影响因素，提出研究问题的新思路和方法步骤，或者提出新的观点、新的发现以及总结新的规律。

本题将函数设计为指数函数与线性函数的组合f(x)=ex-e-x-2x，第（Ⅰ）问要求讨论单调性。问题基本，直接求导，利用平均值不等式即可解决。第（Ⅱ）问则引进另一个函数g(x)=f(2x)-4bf(x)，假定当x＞0时，g(x)＞0，求参数b的最大值。这一问的解决需要能把ex+e-x看做一个整体，之后通过解不等式，从而得到b的最大值。第（Ⅲ）问给出的近似值，要求估计ln2的近似值。

从试题本身上来看，前两问与第（Ⅲ）问之间貌似并无直接联系，在解第（Ⅲ）问时，若直接利用前面结果，不借助2的近似值，直接估计ln2的近似值，但估计的精度不够理想，这时需要我们重新进行思考，将试题条件与前两问结论创造性结合在一起，最终得到我们要证明的结论。在这道试题中，通过分步设问的方式，逐步推进，将不同知识和方法有机整合。对知识的考查侧重理解和运用，让学生独立思考，分析问题，研究问题，并最终解决问题。

2.3 渗透数学应用

数学的发展与社会的进步有着密切的联系，这种联系是双向的，即一方面，数学的发展依赖于社会环境，受社会经济、政治、文化等诸多因素的影响；另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用，包括对人类物质文明和精神文明两大方面的影响。[10]科学研究的发展和进步使得现代数学的抽象程度越来越高，数学概念与方法空前广泛地渗透到数学之外的其他学科领域和我们的生活。在试题中渗透数学应用，可以通过设计适合的试题情境，要求学生能够利用所学数学知识分析、解决实际生活、生产中的问题。

例6：某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

（A）0.8 （B）0.75

（C）0.6 （D）0.45

本题以当前社会关心的空气质量问题为背景，给出了两个实际的随机事件及其概率，引导学生分析各事件及相应概率间的相互关系。试题的设计源于社会实际，体现了新课程内容与我们社会生活的密切相关性。试题设计了几个事件，要求学生能分析清楚各事件间的相互关系,利用事件间的关系及相应计算公式解决概率的计算问题。

例7：为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）。试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

合理安排试验以获取多个样本，并对多个样本进行比较，以对所考查的问题作出统计结论是统计学中常见的问题，也是生产和生活中经常遇到的问题。对两样本的比较方法有多种，在中学阶段所学的统计知识中，可以用直方图、茎叶图作出直观的比较，也可以通过计算平均数、标准差等作出初步判断，还可以用列联表的独立性检验方法作出统计推断。本题以比较两种治疗失眠症的药的疗效为背景，设计实际问题，考查学生处理数据及运用统计知识解决问题的能力。试题贴近生活，具有现实意义，在提高学生学习数学与统计知识的兴趣，培养学生的应用意识，提升学生解决实际问题的能力等方面有着很好的引导作用。体现了新课程注重情感态度价值观，过程、实践与能力的教学理念。

3 思考及建议

数学是一门思维的学科。数学文化在本质上体现了文化整体育人的基本要求，也是素质教育的基本要求。[11]高中数学课程的总目标也明确指出：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。要提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；具有一定的数学视野，初步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，逐步形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，从而进一步树立辩证唯物主义世界观。在高考试题中渗透数学文化，可以适当引导中学教学的教学，使得更多的教师关注数学文化，研究数学文化，将数学的本质教授给学生。学生通过数学文化的熏陶，可以促进对健全人格的养成。一方面，可以学到了数学家们那种不畏艰辛，不怕失败的精神；另一方面，又能学到以退为进，逐步调整的方法、策略，形成了能进能退的开阔胸襟。这正是一种文化的迁移，一种文化的教育。

值得我们注意的是，数学文化是数学学科的一个有机组成部分，高考试题在渗透数学文化时，应当注意与数学知识有机结合，注重体现其理性思维的本质内涵。可以通过创设新的情境、改变设问方式，选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化。近几年来，高考数学试题作出了大胆的尝试，高考中编制的数学试题，除了要实现能力考查的要求以外，还应当注重对数学文化的渗透，特别是对中国古代传统优秀文化的渗透，从而促进学生理性思维的发展。这应当是新时期数学科内容与能力改革考查的目标之一。

[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[C].大学数学课程报告论坛2005论文集.北京：高等教育出版社，2006.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]徐乃楠，王宪昌.数学文化热与数学文化史研究[J].自然辩证法通讯，2009（3）:14-17.

[4]黄秦安.论数学文化的本质、功能及其在人类文化变革中的角色[J].陕西师范大学学报，1993（2）:54-61.

[5]郑硫信，等.数学文化学[M].成都：四川教育出版社，2000.

[6]顾沛.数学文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[7]代钦.释数学文化[J].数学通报，2013（4）:1-4.

[8]Moritz R E.Memorabilia Mathematica[M].New York:The MaCmil⁃lan Company，1914.

[9]侯维民.“数学精神”与数学教育[J].数学教育学报，2004（8）：23-25.

[10]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002.

[11]杨叔子.数学很重要 文化很重要 数学文化也很重要[J].数学教育学报，2014（12）：4-6.

Highlight Rational Thinking and Carry forward Mathematical Culture: The Infiltration of Mathematical Culture in the Test

CHEN Ang&REN Zizhao

Mathematical culture is an important part of national culture quality education，it’s connotation is the history of mathematics，the spirit of mathematics and the application of mathematics that formed by rational spirit continued exploration during the practice.The items of college entrance examination pay attention to infiltrate mathematical culture.In this way,we can effectively promote the development of student’s rational spirit.

Rational Spirit；Mathematic Culture；College Entrance Examination；Mathematical Application

G405

A

1005-8427(2015）03-0010-5

本文系全国教育科学规划教育部重点课题“高考能力考查与内容改革创新研究”（课题批准号：GFA111006）阶段性研究成果之一。

陈 昂，男，教育部考试中心，助理研究员，博士（北京 100084）

任子朝，男，教育部考试中心，研究员（北京 100084）