高压输电线下三维工频电场的矩量法数学计算

王敬晓，李 斌，高艳霞

深圳大学物理科学与技术学院，深圳 518060

【电子与信息科学 / Electronics and Information Science】

高压输电线下三维工频电场的矩量法数学计算

王敬晓，李 斌，高艳霞

深圳大学物理科学与技术学院，深圳 518060

基于模拟电荷法与矩量法，考虑弧垂和档距等因素的影响，建立超高压输电线路工频电场三维仿真计算模型，研究超高压输电线路工频电场的分布．以500 kV单回三相水平排列线路为例，对型号为4×LGJ-400/35(外径为26.82 mm，分裂间距为450 mm)，悬挂点对地高度为20 m，导线间距为8 m，呈悬链线的导线进行模拟计算．结果表明，考虑导线弧垂后，随着档距增大，弧垂加大，导线对地距离减小，导线下方的场强增大．在垂直档距中央的横向分布上，悬链线模型与二维模型计算结果接近，曲线形状基本一致．导线形状的差异会导致沿导线走向的场强分布存在很大差异．研究可供电网建设和生产运行参考．

电磁学；工频电场；模拟电荷法；矩量法；档距；高压输电线路

模拟电荷法以镜像法为基础，基于电磁场的唯一性定理，将电极表面连续分布的自由电荷或介质分界面上连续分布的束缚电荷，用位于无效区域的一组离散化的模拟电荷来等值代替[1-2]．而矩量法是基于加权余量法或定义泛函内积等方法，将待求的积分方程问题转化为一个矩阵方程问题，借助计算机求其数值解，从而在所得激励源分布的数值解基础上得到场的分布[3-4]．用模拟电荷法分析较复杂的问题时，模拟电荷的数量、大小和位置配置将变得十分复杂，以致影响问题的求解．本研究利用等效原理，使模拟电荷不再是整体均匀分布而是分段均匀分布，由此建立积分方程，并利用矩量法[4]中的点匹配法，使积分方程离散为满足场的唯一性定理的矩阵方程．

1 理论模型

为了分析方便又不失合理性，假设导线悬挂形状是“悬链线”[5]、视工频电磁场为准静态场[6]、模拟电荷的位置在高压输电线的中心轴线上．简化线路为圆柱导线，导线半径Ri用等效半径代替，运用有效值相量表示其电压和电流，以额定电压的1.05倍作为计算电压[7]．

现以三相(A相、B相和C相)水平排列线路为例进行分析．

导线方程即悬链线方程[8]为

(1)

其中，H为导线悬挂点高度；a为导线水平应力系数，a=γL/σ0，σ0为导线水平应力，γ为导线比载；L为档距；x为导线上任意点的横坐标；z为该点对地高度．

以图1单回路三相线路A相为例，将导线沿x轴等间距地分割成N段，D为A相和B相间的水平距离，线电荷密度为τi(i=1，2，…，N)； 类似地，镜像导线也等间距地剖分为N段，线电荷密度为τi′(i=1，2，…，N)，则有τi′=-τi， B相和C相采用同样的剖分[9]．

图1 悬链线模型Fig.1 Catenary model

三相导线采用连续编号，则离散积分方程为

(2)

采用点匹配计算模式[10]，基于式(2)得

(3)

其中，j=1，2，…，3N．将式(3)记为矩阵形式为

λτ=g

(4)

其中，λ是电位系数组成的矩阵，为3N×3N的方阵；τ为线电荷密度组成的矩阵，为3N×1的列向量；g为3N×1的矩阵，其列向量元素皆为4πε0φ0．

(5)

当j=i时的电位系数为

(6)

综上可得，任意场点P(x，y，z)处的电位为

φ(x，y，z)=

(7)

任意场点P(x，y，z)处的电场强度分量为

(8)

(9)

(10)

2 典型工程算例与分析

2.1 悬链线分布模型

以500 kV单回三相水平排列线路为例，相关参数为：导线型号为4×LGJ-400/35(外径为26.82 mm，分裂间距为450 mm)，导线悬挂点对地高度h=20 m，导线呈悬链线分布，导线间距d=8 m，导线水平应力σ0=11.84 N/mm2，导线比载γ=3.577×10-3N/(m·mm2)．

在中央弧垂的yOz平面上(x=0)， 模拟计算中心导线两侧50 m范围(间距为0.5 m)内，离地高度为1.5 m(约为人体心脏的高度)处，档距分别为100 m和400 m时的电场强度，结果如图2至图4．其中，图2是水平方向的场强分布曲线；图3是垂直方向的场强分布曲线；图4是合场强的分布曲线．图中，横轴y0为计算场点与中心导线的水平距离.

图2 Ey分布曲线Fig.2 (Color online) Distribution curve of Ey

图3 Ez分布曲线Fig.3 (Color online) Distribution curve of Ez

图4 E分布曲线Fig.4 (Color online) Distribution curve of E

从图2至图4可见，输电线路以水平方式排列时，场强的水平、垂直以及合场强分布曲线均于z轴对称，场强极大值分布在两边相导线下方附近，且合场强主要由垂直方向分量决定．

本例档距为100 m时，导线的最大弧垂为0.38 m；而当档距达到400 m时，弧垂增至6.04 m．弧垂随档距的增大而变大，使导线对地距离减小，因此导线下方的场强也增大，可从图4得到验证．档距为400 m时的场强明显大于档距为100 m时的场强，其中央弧垂处场强极小值增大了1 830 V/m，而场强极大值也增大了2 680 V/m．所以，随着档距增大，导线下方的场强也增大．

2.2 二维模型与悬链线模型比较

以500 kV单回三相水平排列线路为例，两模型采用相同的数据．中央弧垂(档距取400 m)g=L/a×[cosh(a/2)-1]=6.04 m，弧垂最低点对地高度h′=h-g=14 m，离地1.5 m处的场强分布曲线如图5至图8．其中，y0为垂直导线方向，计算场点与中心导线的水平距离；x0为沿导线方向，计算场点与导线中心的水平距离.

图5 二维模型的场强分布曲面图Fig.5 (Color online) Distribution of electric field intensity surface of two-dimensional model

图6 悬链线模型的场强分布曲面图Fig.6 (Color online) Intensity distribution of electric field of catenary model

图7 两种模型在yOz平面上的比较Fig.7 (Color online) Comparison of two models in yOz plane

图8 中央导线正下方场强分布Fig.8 (Color online) Electric field right below the middle wire

图5和图6分别是用二维模型(无限长直导线)和悬链线模型计算得到的场强分布曲面图．从图7可见，在yOz平面上，曲线形状基本一致；但在xOz平面上，场强的分布曲线却存在很大差异(如图8)．

图7是在yOz平面(x=0)上场强的分布曲线，实线、虚线分别是用二维模型和悬链线模型得到的场强分布曲线，两条曲线形状基本一致．在二维模型中，为计算地面场强的最大值，通常取导线的最小对地高度，因此在yOz平面(x=0)处，两种模型采用的是相同的导线对地高度．从两条曲线可见，用二维模型得到的场强极大值、极小值比悬链线模型的结果分别小180 V/m和80 V/m，但相差不大，说明在反映实际工程的主要因素上，两种模型均可行．

图8是沿导线走向中央导线正下方场强的分布曲线，实线和虚线分别是用二维模型和悬链线模型得到的场强分布曲线，两条曲线存在很大差异，这是由于两种模型中对导线的形状采用不同的简化所导致的．如表1，比较两条曲线不同场点p(间距50 m)处的场强大小．由表1可见，在悬链线模型中，场强随着距离的增大迅速衰减，当距离s达到200 m时，场强就比二维模型的场强小2 202 V/m．这是因为在二维模型中，导线简化为无限长直导线，因此档距对场强没有影响，沿导线走向上的场强分布是不变的；而在悬链线模型中，考虑了档距，导线对地距离减小，所以档距影响场强的分布，在一个档距内，场强由中央向两侧衰减．

表1 场点p处场强的比较Table 1 Comparison of electric fields at point p V/m

二维模型所计算的场强仅对档距中央处符合，是对场强总体水平的一个估计．在实际工程测量中，尤其是在输电线路的档距很大时，很难用肉眼辨别出档距中央位置，测量结果和仿真结果就会出现较大的偏差．而悬链线模型考虑了弧垂和档距等因素的影响，因此可以得到线路任意位置下方的场强分布；同时，悬链线模型还考虑了气象条件的变化(即当时的气温和风速条件等)，使仿真结果更精确，与测量实际值更相符．

本研究虽然是以500 kV单回三相水平排列线路为例进行的研究，但对其他或者更高的电压等级、不同线路回路以及线路排列的情况，此方法仍然适用．只是当输电线路较复杂，或电压为750、1 000 kV等特高压时，需要考虑更多的影响因素．比如，在离导线档距中央较远处，如果计算场点靠近铁塔等特殊位置，这时除了考虑档距的影响外，还应该考虑铁塔、附近建筑物等对电场分布的影响；而对于特高压输电线路，还应该考虑电晕放电等可能影响场强分布的因素．限于篇幅，对于特高压的情况我们将另文详述．

结 语

本研究利用模拟电荷-矩量法，对输电线下的工频电场建立悬链线模型进行模拟分析．将模拟电荷法和矩量法结合起来，有效提高了仿真模拟结果的精确度，使仿真结果与实际测量值更相符．

通过二维模型与悬链线模型的比较，在垂直档距中央的横向分布上，两者计算结果十分接近，曲线形状基本一致，但由于对导线形状采取不同的简化方式，沿导线走向的场强分布曲线存在很大差异．二维模型忽略弧垂和档距等因素的影响，仅能对输电线路下方场强总体水平予以评估．而悬链线模型不仅考虑导线形状的改变对场强的影响，还考虑气象条件的变化，使仿真结果更加精确．从这两种模型的仿真结果可见，导线离地高度能明显影响线下场强的分布情况，所以适当增加导线对地高度，可有效减少线下最大场强．建立高压输电线下三维工频电场的计算模型，可为有效预测与评估复杂输电线路周围空间的场强分布，更合理地架设输电线路提供理论依据．

/ References：

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【中文责编：英 子；英文责编：雨 辰】

2014-12-12；Accepted：2015-04-14

Mathematical calculation of 3D power frequency electric field under high voltage transmission lines based on moment method

Wang Jingxiao, Li Bin, and Gao Yanxia†

College of Physics Science and Technology, Shenzhen University, Shenzhen 518060, P.R.China

By using the charge simulation and the moment method and taking the effects of sag and span into account according to the practical engineering circumstances, we propose a simulation model to analyze the three-dimensional distribution of power frequency electric field under high voltage power transmission lines. This model is applied on a horizontally arranged 500 kV three-phase single loop line, in which the wire (4×LGJ-400/35 with outer diameter of 26.82 mm and bundle spacing of 450 mm) is suspended at the height of 20 m in catenary with wire spacing of 8 m. Simulation results show that the span and sag increase with the decrease of distance between wires and the ground, leading to the strengthened field intensity under the wires. The transverse distribution of the field intensity in the middle of span calculated by the funicular curve model is analogous to that by the two-dimensional model. However, the field intensity distribution along the wire varies according to the different shapes of wires. This result can offer guidance for the power grid construction and operation.

electromagnetism; power frequency electric field; charge simulation method; the method of moments; span; high voltage transmission line

：Wang Jingxiao，Li Bin，Gao Yanxia．Mathematical calculation of 3D power frequency electric field under high voltage transmission lines based on moment method[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(3): 290-295.(in Chinese)

TM 743

A

10.3724/SP.J.1249.2015.03290

国家自然科学基金资助项目(61275101)

王敬晓(1989—)，女(汉族)，河南省获嘉县人，深圳大学硕士研究生．E-mail：515179833@qq.com

Foundation：National Natural Science Foundation of China(61275101)

† Corresponding author：Professor Gao Yanxia．E-mail：gyx@szu.edu.cn

引 文：王敬晓，李 斌，高艳霞．高压输电线下三维工频电场的矩量法数学计算[J]. 深圳大学学报理工版，2015，32(3)：290-295.