马赫-曾德尔干涉仪中位相测量系统的误差分析

牛 青，李 岩，李卫东

山西大学理论物理研究所，太原 030006

【光电工程 / Optoelectronic Engineering】

马赫-曾德尔干涉仪中位相测量系统的误差分析

牛 青，李 岩，李卫东

山西大学理论物理研究所，太原 030006

利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)方法对一端输入相干态，另一端输入真空态的马赫-曾德尔(Mach-Zehnder)干涉仪的位相测量误差进行了研究．通过分析粒子数差的测量结果，验证该测量方法所测得的位相值的误差依赖于待测位相θ： 当θ靠近0或π时，测量误差较大，当θ靠近0.5π时，可达到测量误差的最小极限(散粒噪声极限)．理论分析发现，待测位相与测量结果之间的函数关系f-1的非线性导致位相的估计出现偏差．

凝聚态物理；马赫-曾德尔干涉仪；蒙特卡罗方法；矩估计；位相；粒子数差；高斯分布

马赫-曾德尔(Mach-Zehnder，MZ)干涉仪是一种被广泛应用的，通过光子、原子和电子来测量位相的方案[1-4]．早在20世纪80年代，Yurke等[4]就指出利用非经典光的特性可使位相测量的误差大大降低，超越散粒噪声极限(shot-noise limit)[1,5]而达到海森堡量子极限(Heisenberg limit)[6-9]．随着对零误差测量的追求，人们发现了越来越多有趣的现象，比如对重力加速度的测量．科学家发现，通过对某地重力加速度的测量就可以分析得到该地的地理情况，也有人预测随着测量误差的不断降低，在不久的将来，我们可以通过分析重力加速度预测地震，这将为我们的生活带来极大的益处，也使得对零误差测量的研究更加重要．近年来，有学者利用相干态和压缩态[10-12]作为输入态，对该理论进行了大量的实验研究．在大多数的测量中，位相信息是通过测量输出端的粒子数差获取的．由于该测量方案未包含所有有效的系统信息[4,13]，所以测量所得位相的测量误差与待测的位相值存在依赖关系．

本研究利用Monte-Carlo(M-C)[14]方法对输入态为相干态和真空态的MZ干涉仪[1-2,6]的位相测量进行理论研究．结果表明，位相测量误差与待测位相值之间存在依赖关系，在0.5π时，测量误差可降低到散粒噪声极限，而在0和π时，测量误差较大，测量存在偏差．该结论与文献[13]结论一致．进一步对造成上述现象的原因进行理论分析，结果表明，待测位相与测量结果之间的非线性函数关系f-1导致了位相估计在0和π处出现偏差．

1 矩估计

(1)

相应的方差为

(2)

(3)

Θest=f-1(Ap)

(4)

式(1)中的Ap在θ处的展开为

(5)

式(5)中的求导是对待测位相θ进行的．同时，Ap又可表示为

(6)

联立式(5)和式(6)，得矩估计的测量误差为[18]

(7)

2 MZ干涉仪实验中测量位相θ的分析

(8)

系统的分布函数为[9]

(9)

图1 马赫-曾德尔干涉仪的原理图，在a端输入 相干态〉，b端输入真空态〉Fig.1 The schematic of a Mach-Zehnder interferometer, where a coherent state 〉 is input to the port a and a vacuum

由式(1)至式(4)及式(8)可知，利用MZ干涉仪得到的位相估计值为[13,15,19-20]

(10)

(11)

对于p→∞次测量而言，满足式(11)的无偏差分布函数可写为

(12)

即式(12)是以待测位相θ为中心， ΔΘest为标准差的高斯分布．因为式(12)为分布函数，所以θ的取值范围为[0，π]．同时，由式(11)可得，当θ=0.5π时，可得到一个最佳估计的ΔΘest， 即散粒噪声极限；而在其他位置的ΔΘest值都比0.5π时的大，尤其当靠近θ=0，π时， ΔΘest会变得发散．

3 数值模拟与理论分析对比

图2 M-C模拟MZ干涉仪实验得到的 数据的矩估计分析Fig.2 (Color online) The moment analysis obtained by M-C numerical simulation of the MZ interferometer

图与在给定位相θ的分布图Fig.3 (Color online) The distribution of with the given phase shift θ

O(x3)

(13)

由式(13)可知，式(10)在x0≠±1处的展开是发散的，也就是说，当待测位相等于0或π时，f-1(Ap)表现出很强的非线性．但当x0=0时，即待测位相为π/2时，式(10)的展开式为

(14)

即当待测位相等于π/2时，略去(14)式中x高阶项后，f-1(Ap)是线性的．

结 语

研究输入态为相干态和真空态的MZ干涉仪位相测量系统的误差，利用M-C方法对其输出态的结果进行了数值模拟，通过分析模拟数据所提取的位相信息，验证了位相测量误差与待测位相的依赖关系，得到与式(11)一致的结果．

对比测量得到的分布函数与无偏差测量，发现在0或π处出现偏差的原因是由于此时测量为有偏差测量，深层的原因由f-1在该区域的非线性导致．而对于一般的输入态能否得到无偏差测量就需要分析其对应的函数f-1的性质，若f-1为线性函数，则测量为无偏差测量；反之，为偏差测量．该理论分析可为寻找简单的与待测角无关的测量提供借鉴．

/ References：

[1] Pezzé L，Smerzi A，Khoury G，et al．Phase detection at the quantum limit with multiphoton Mach-Zehnder interferometer[J]．Physical Review Letters，2007，99(22)：223602-1-223602-4．

[2] Zehnder L．Ein neuer interferenzrefraktor[J]．Zeitschrift Für Instrumentenkunde，1891，11：275-285．

[3] Mach L．Ueber einen interferenzrefraktor[J]．Zeitschrift Für Instrumentenkunde，1892，12：89-93．

[4] Yurke B，McCall S L，Klauder J R．SU(2) and SU(1，1) interferometers[J]．Physical Review A，1986，33(6)：4033-4054．

[5] Blanter Ya M， Büttiker M．Shot noise in mesoscopic conductors[J]．Physics Reports，2000，336(1/2)：1-166．

[6] Hofmann M J，Burnett K．Interferometric detection of optical phase shift at the Heisenberg limit[J]．Physical Review Letters，1993，71(9)：1355-1358．

[7] Mitchell M W，Lundeen J S，Steinberg A M．Super-resolving phase measurements with a multiphoton entangled state[J]．Nature，2004，429(6988)：161-164．

[8] Walther P，Pan J W，Aspelmeyer M，et al．De Broglie wavelength of a non-local four-photon state[J]．Nature，2004，429(6988)：158-161．

[9] Nagata T，Okamoto R，O'brien J L，et al．Beating the standard quantum limit with four-entangled photons[J]．Science，2007，316(5825)：726-729．

[10] Pezzé L，Smerzi A．Mach-Zehnder interferometer at the Heisenberg limit with coherent and squeezed-vacuum light[J]．Physical Review Letters，2008，100(7)：073601-1-073601-4．

[11] Li Dong，Yuan Chunhua，Ou Z Y，et al．The phase sensitivity of an SU(1，1) interferometer with coherent and squeezed-vacuum light[J]．New Journal of Physics，2014，16(7)：073020-1-073020-10．

[12] Chwedeńczuk J， Piazza F， Smerzi A． Multipath interfe-rometer with ultracold atoms trapped in an optical lattice[J]．Physical Review A，2013，87(3)：033607-1-033607-10．

[13] Pezzé L．Quantum interferometer[D]．Trento(Italian)：Università Degli Studi di Trento，2007．

[14] Herbert A，Metropolis L．Monte Carlo and the MANIAC[J]．Los Alamos Science，1986，14：96-108．

[15] Dowling J P．Correlated input-port，matter-wave interfe-rometers：quantum-noise limits to the atom-laser gyroscope[J]．Physical Review A，1998，57(6)：4736-4746．

[16] Lane A S，Braunstein S L，Caves C M．Maximum-likelihood statistics of multiple quantum phase measurements[J]．Physical Review A，1993，47(3)：1667-1696．

[17] Pezzé L，Smerzi A．Quantum theory of phase estimation[C]// Proceedings of the International School of Physics．Amsterdam：IOS Press，2014，691-740.

[18] Yurke B．Input states for enhancement of fermion interferometer sensitivity[J]．Physical Review Letters，1986，56(15)：1515-1517.

[19] Caves C M．Quantum mechanical noise in an interfe-rometer[J]． Physical Review D，1981，23(8)：1693-1708．

[20] Scully M O，Zubairy M S．Quantum optics[M]．Cambridg(UK)：Cambridge University Press，1997：97-143．

【中文责编：英 子；英文责编：木 南】

2015-02-04；Accepted：2015-03-20

Systematic error analysis for phase measurement with the Mach-Zehnder interferometer

Niu Qing, Li Yan, and Li Weidong†

Institute of Theoretical Physics, Shanxi University, Taiyuan 030006, P.R.China

Using the Monte-Carlo algorithm, we investigate the phase measurement error of the Mach-Zehnder interferometer with a coherent state in one input port and a vacuum state in the other input port. By analyzing the phase measurements based on the difference of particle numbers, we find that the phase accuracy of the Mach-Zehnder interferometer is dependent on the measured phaseθ. The minimum limit on measurement accuracy (the shot noise limit) is obtained whenθis around 0.5π, while the measurement error is larger forθclose to 0 or π. Through theoretical analysis, we find that the result is caused by the non-linearity of the functionf-1, which is a function between the phase to be measured and the measurement to be estimated.

condensed matter physics; Mach-Zehnder interferometer; Monte-Carlo algorithm; the method of moments; phase; particle number difference; Gaussian distribution

：Niu Qing，Li Yan，Li Weidong．Systematic error analysis for phase measurement with the Mach-Zehnder interferometer[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(3): 306-310.(in Chinese)

O 469

A

10.3724/SP.J.1249.2015.03306

国家自然科学基金资助项目(11374197)

牛 青(1990—)，女(汉族)，山西省忻州市人，山西大学硕士研究生．E-mail：yuxuehancheng@163.com

Foundation：National Natural Science Foundation of China (11374197)

† Corresponding author：Professor Li Weidong．E-mail: wdli@sxu.edu.cn

引 文：牛 青，李 岩，李卫东．马赫-曾德尔干涉仪中位相测量系统的误差分析[J]. 深圳大学学报理工版，2015，32(3)：306-310.