双重介质油藏压裂水平井非稳态压力动态分析

谢 斌，王俊超，黄 波，李海涛

1)中国石油新疆油田公司工程技术研究院，新疆维吾尔自治区 克拉玛依 834000；2)西南石油大学油气藏地质与开发工程国家重点实验室，成都 610500

【环境与能源 / Environment and Energy】

双重介质油藏压裂水平井非稳态压力动态分析

谢 斌1，王俊超2，黄 波1，李海涛2

1)中国石油新疆油田公司工程技术研究院，新疆维吾尔自治区 克拉玛依 834000；2)西南石油大学油气藏地质与开发工程国家重点实验室，成都 610500

针对双重介质油藏分段压裂水平井，首次采用体积源函数思想，建立在人工裂缝为均匀流量时非稳态压力动态模型．结合Laplace变换和正交变换，推导相应的体积源函数和无因次井底压力算法．根据体积源模型，在不同人工裂缝参数和储层参数下，绘制了分段压裂水平井压力动态曲线，分析了线性流动模型中水平井穿透储层对压力动态的影响．结果表明，水平井完全穿透储层的假设对早期和晚期的压力动态有明显影响；人工裂缝条数和长度对压力动态的影响一直持续到边界效应的出现，且均存在一个最优的设计范围；在裂缝条数相同的情况下，不同的裂缝分布方式也影响主要生产阶段的压力动态，因此，合理设计裂缝的分布方式对提高压裂水平井产能有重要意义．

双重介质油藏；分段压裂水平井，体积源函数；压力动态；Laplace变换；正交变换

随着非常规油气资源的开发和开采，对分段压裂水平井非稳态压力动态分析和产能评价等基础理论研究日趋重要．目前，针对均质储层分段压裂水平井的基础理论研究较为完善，国内外众多学者研究了压力动态[1-6]和产能[7-14]，建立了不同因素影响下的渗流模型，并分析了裂缝和储层参数对压力和产能的影响以及裂缝参数优化设计方法．对天然裂缝发育的双重介质储层中分段压裂水平井的研究，主要有基于线性流动假设的三线性流模型[15-16]和三孔模型[17-18]，然而这些模型的建立和求解均是基于水平井完全穿透储层和人工裂缝等距分布等的理想假设．

本研究基于Amini等[19-21]提出的均质油藏的离散体积源函数，首次将体积源的思想推广并用于双重介质油藏裂缝非等距分布时分段压裂水平井的非稳态渗流问题．体积源方法与传统点源方法最大的差别在于，体积源模型中加入了源具有一定体积的假设，在计算过程中不需要对源形状进行积分，而点源函数在源处是奇点[22-23]，因此对源形状的积分需要采用近似算法，这可能会带来收敛过慢和精确性差的问题[24-25]．点源方法和体积源方法示意图分别见如图1和图2.本研究在均匀流量人工裂缝假设的前提下，建立无因次井底压力的计算方法，并分析线性流动模型下，水平井穿透储层假设、人工裂缝性质和储层参数对于压力动态的影响．

图1 点源方法模拟分段压裂水平井的过程Fig.1 Procedure of simulating factured horizontal wells by point source method

图2 体积源方法模拟分段压裂水平井的过程Fig.2 Procedure of simulating factured horizontal wells by volumetric source method

1 分段压裂水平井渗流模型

1.1 假设条件

1)储层为长方体形双重介质油藏，其三维尺寸为xe,ye和ze．

2)储层中部有1条无限导流水平井，沿水平井有NH条不等距分布、与水平井正交、均匀流量的人工裂缝．

3)人工裂缝长为yF(单位：m)、高为zF(单位：m)、宽为wF(单位：m)，第j条人工裂缝与水平井相交的中心点坐标为rj， 流量为qj(j=1,2,…,NH)．

4)流体为单相、弱可压缩原油；流动过程等温，符合达西定律；忽略重力和二次压力梯度影响(图3)．

图3 分段压裂水平井(3条裂缝时)示意图Fig.3 Schematic of fractured horizontal well (three hydraulic fractures)

1.2 体积源函数

假设储层内存在一个强度为q(t)的汇，其中心点坐标为(cx，cy，cz)， 三维尺寸为2wx，2wy和2wz(图4)．

图4 体积源模型示意图Fig.4 Schematic of volumetric source system

无因次压力PD、无因次流量qD、时间tD和无因次化之后的三维坐标lD定义如下：

无因次储集系数CD为

窜流系数ω和储容比λ为

无因次渗流模型为

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

其中，po为原始地层压力(单位：MPa)；p为地层压力(单位：MPa)；qc为参考流量(单位：m3/d)；α为形状因子(单位：m-2)；L为参考长度(单位：m)；k为渗透率(单位：μm2)；B为原油压缩系数，无因次；μ为年度；m为原油黏度(单位：mPa·s)；φ为孔隙度，无因次；ct为综合压缩系数(单位：MPa-1)；C为井筒储集系数(单位：m3/MPa)；V为介质的体积系数，无因次；Vsource, D为源的无因次体积，Vsource, D=8wx,Dwy,Dwz,D．下标m表示基质系统；下标f表示天然裂缝系统；下标D表示无因次量．

对无因次模型(1)至模型(5)取关于无因次时间的Laplace变换：

(6)

其中，s为Laplace变换变量．Laplace变换后模型为

(7)

(8)

(9)

[H(zD-cz,D-wz,D)-H(zD-cz,D+wz,D)]

H(x-x0)为Heaviside函数(单位阶跃函数)，

对于天然裂缝系统3个主方向渗透率不一致的储层(kf,x≠kf,y≠kf,z)， 定义如下裂缝系统的参考渗流，并对三维空间的坐标做如下相应的变换，即可将各项异性问题转化为各项同性的形式．

对模型(6)至模型(9)作如下正交变换

(10)

其正交逆变换为

(11)

正交变换的特征函数、范数和特征值为

Ek,m,n(xD,yD,zD)=

(12)

(13)

(14)

空间中任意一点rD=(xD,yD,zD)的压力响应的Laplace空间解为

(15)

若f(s)=1，则为均质储层的体积源函数．根据Laplace解析反演法，实空间中的瞬时体积源函数为

Gsource, k(xD)Gsource, m(yD)Gsource, n(zD)e-γtD

(16)

式(16)可整理为Pf,D(rD,tD)=qDI(xD,tD)I(yD,tD)I(zD,tD)

(17)

lD=xD,yD,zD

(18)

式(16)与Amini[19]所得到的解相同，只有无因次量定义有差别．因此，Amini[19]推导的均质储层体积源函数可看作本研究体的一个特例．均质储层无因次压力与时间的定义均与储层渗透率相关，即

1.3 分段压裂水平井压力动态计算方法

根据叠加原理和储层流动模型，第i源中心点处无因次压降的Laplace空间表达式为

(19)

记压裂水平井的总产量为Q，且在无因次过程中选取的参考流量也为Q，则

(20)

结合式(16)和式(17)，可得求解无因次井底压力Laplace空间解的如下NH+1阶方程组

Aχ=β

(21)

(22)

通过式(21)可求得无因次井底压力的Laplace空间解，再采用Stehfest数值反演方法，即可得到实空间中无因次井底压力的动态曲线．

若考虑井筒储集效应和表皮的影响，则无因次井底压力为

(23)

2 影响因素分析

计算中，假设天然裂缝系统的x和y方向的渗透率相等(kf,x=kf,y)， 并定义天然裂缝系统的各向异性系数σ为

σ=kf,x/kf,y

根据分段压裂水平井压力动态的算法，计算并分析人工裂缝参数和储层参数对于压力动态曲线的影响，计算所需的基本参数见表1(参考长度取为水平井筒半径，L=rw)．

表1 基本参数Table 1 Parameters of an example

2.1 水平井完全穿透储层的影响

如图5所示，↓表示自上至下与曲线对应关系.从图5可知，线性流动假设模型中，关于水平井完全穿透储层这一假设对压力动态曲线有着较大的影响，计算得到的无因次井底压力偏高．因此采用体积源模型可更精确地模拟分段压裂水平井的压力动态．

图5 水平井是否穿透储层对于压力动态曲线的影响Fig.5 (Color online) Effect of the assumption that the horizontal well runs through the reservoir on pressure behavior

2.2 人工裂缝条数的影响

从图6可以看出，条数越多无因次井底压力和压力导数曲线在前期和中期相对较低，在后期基本重合；说明条数越多，生产所需的压降越低，产能越高．在条数超过4条时，继续增加条数对曲线的影响很小，说明对于特定的水平井，人工裂缝条数存在一个最优范围，在本例中选择3～4条为最优．

图6 人工裂缝条数对于压力动态曲线的影响Fig.6 (Color online) Effect of the number of fractures on pressure behavior

2.3 人工裂缝长度的影响

从图7可以看出，长度也影响前期和中期生产，条数越长，压力和压力导数曲线越低；但相比增加条数，增加长度对曲线的影响程度较小．长度从300 m增至400 m对曲线的影响程度远小于从200 m增至300 m时，说明长度也存在一个最优范围，在本例中选择300～400 m为最优．

图7 人工裂缝长度对于压力动态曲线的影响Fig.7 (Color online) Effect of fracture on pressure behavior

2.4 人工裂缝分布方式的影响

图8比较了人工裂缝等距分布和非等距分布(人工裂缝位置为300、400和500 m)时，压力动态曲线的差异，人工裂缝分布方式对于压力动态曲线的影响主要是由于裂缝间的相互干扰引起的．Bruce等[26]给出的人工裂缝间干扰时间的计算公式，根据本研究无因次时间的定义，可得无因次干扰时间为：

(24)

其中，Dx为人工裂缝间距，单位：m．

由式(24)可知，等距分布时发生裂缝干扰的无因次时间为2×105，非等距分布时分时裂缝干扰的时间为7.2×104．这一结果与图8中等距(非等距)分布压力动态出现差别的无因次时间基本相同．人工裂缝分布方式影响着生产过程中持续时间最长、最重要的时期，因此，对于特定的压裂水平井，设计合适的裂缝分布方式是必要的．

图8 人工裂缝分布方式对于压力动态曲线的影响Fig.8 (Color online) Effect of the uneven spacing of fractures on pressure behavior

2.5 各向异性系数的影响

从图9可知，各向异性系数主要影响生产的中期，且对曲线的影响可分为两个阶段．各向异性系数越高，即垂直方向渗透率越高，在压力波传播到顶底边界之前，压力和压力导数曲线越低；在压力波传播到顶底边界之后，随着边界效应的负面影响加深，掩盖垂向渗透率高所带来的优势，压力和压力导数曲线越高．

2.6 窜流系数和储容比的影响

从图10可知，窜流系数决定双重介质储层压力导数曲线的“凹子”出现的位置、窜流初始时间和窜流阶段压力曲线位置的高度；窜流系数越大，窜流发生越早，“凹子”出现越早并且位置更靠下，窜流阶段压力曲线越低．储容比影响压力曲线早期的位置和压力导数曲线“凹子”的性质；随着储容比的增大，压力曲线在早期越低，压力导数曲线的“凹子”越浅，持续时间越短(图11)

图9 各向异性系数对于压力动态曲线的影响Fig.9 (Color online) Effect of anisotropic coefficient on pressure behavior

图10 窜流系数对于压力动态的影响Fig.10 (Color online) Effect of flow capacity on pressure behavior

2.7 井筒储集系数和表皮因子的影响

井筒储集系数主要影响前期流动阶段，随着井筒储集系数的增加，压力和压力导数曲线表现为整体向右移动，并且可能掩盖之后流动阶段的特征(图12)．表皮因子主要影响前期和中期的压力动态，表皮因子越高，说明生产所需克服的附加压降越大，因此压力曲线越高，从而压力导数曲线出现的"驼峰"也越高；随着生产时间的推移，生产过程中储层消耗的压降逐渐占据主导作用，表皮因子对压力动态的影响也随之减弱(图13)．

图11 储容比对于压力动态的影响Fig.11 (Color online) Effect of storativity on pressure behavior

图12 井筒储集系数对于压力动态的影响Fig.12 (Color online) Effect of wellbore storage coefficient on pressure behavior

图13 表皮因子对于压力动态的影响Fig.3 (Color online) Effect of skin factor coefficient on pressure behavior

3 结 论

1) 本研究首次采用体积源函数的思想，建立了双重介质油藏分段压裂水平井压力响应模型，结合Laplace变换和正交变换求取相应的体积源函数；Amini[19]推导的均质储层体积源函数可作为本研究的一个特例．

2) 相比基于线性流动假设的解析模型，体积源模型去除了等距分布、水平井穿透储层等较为理想的假设条件，计算结果更为实际．

3) 人工裂缝条数和长度对压力动态有较大影响，其影响程度随条数或长度的增大而减弱，说明对一口水平井压裂的条数和长度都存在最优范围．

4) 非等距分布几乎影响分段压裂水平井的整个生产阶段，在相同人工裂缝条数的情况下，合理设计其分布方式对进一步提高产能有着重要作用．

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【中文责编：晨 兮；英文责编：子 兰】

2014-11-13；Accepted：2015-04-16

Unsteady pressure behavior analysis for fractured horizontal well in dual-porosity reservoir

Xie Bin1, Wang Junchao2, Huang Bo1, and Li Haitao2†

1) Engineering Technology Research Institute, Xinjiang Oilfield Company of PetroChina, Karamay 834000,Xinjiang Uyghur Autonomous Region, P.R.China 2) State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation, Southwest Petroleum University,Chengdu 610500, P.R.China

This paper presents a new volumetric source model to analyze unsteady pressure behavior for fractured horizontal wells in dual-porosity reservoirs with uniform flux hydraulic fractures. By combining the Laplace transformation and orthogonal transformation, we derive the volumetric source function and the dimensionless well-bore pressure calculation method and draw the unsteady pressure curves for the fractured horizontal well according to parameters of hydraulic fracture and reservoir based on the volumetric source model. We also analyze the effect of the assumption of a horizontal well runs though the reservoir on pressure behavior in the tri-linear model. The results show that the assumption in the tri-linear model causes different pressure behaviors in the very beginning and later period of production. The number and length of hydraulic fractures have significant effects on pressure behavior before the appearance of boundary effect, and there is an optimal range for each of them. Meanwhile, the uneven spacing of hydraulic fractures affects pressure behavior during the main period of production. In other words, the design of rational distribution of hydraulic fractures plays an important role in increasing the output of fractured horizontal wells.

dual-porosity reservoir; fractured horizontal well; volumetric source function; transient pressure behavior; Laplace transformation; orthogonal transformation

：Xie Bin, Wang Junchao, Huang Bo, et al. Unsteady pressure behavior analysis for fractured horizontal well in dual-porosity reservoir[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(3): 272-280.(in Chinese)

TE 31

A

10.3724/SP.J.1249.2015.03272

“十二五”国家科技重大专项资助项目(2011ZX05022-006-004HZ)；中石油股份公司重大专项资助项目(2012E-34-14)

谢 斌(1968—)，男(汉族)，新疆维吾尔自治区石河子市人，中国石油新疆油田公司工程技术研究院高级工程师. E-mail：binxie@petrochina.com.cn

Foundation：National “Twelfth Five-Year Plan” for Science and Technology Major Project (2011ZX05022-006-004HZ); Petrochina Company Limited Major Project(2012E-34-14)

† Corresponding author：Professor Li Haitao. E-mail: swpilht@sina.com

引 文：谢 斌，王俊超，黄 波，等. 双重介质油藏压裂水平井非稳态压力动态分析[J]. 深圳大学学报理工版，2015，32(3)：272-280.