数学模型在购房决策中的应用

呼文军，王 蔷

（吕梁学院数学系，山西 吕梁 033001）

数学模型在购房决策中的应用

呼文军，王 蔷

（吕梁学院数学系，山西 吕梁 033001）

建立了多目标决策的数学模型，利用集对分析法对消费者购房问题进行了讨论.通过市场调查确立出影响消费者购房的五个因素，利用熵值法求出各个因素的指标权重并建立评价矩阵，确立理想方案，综合比较得到最优购房方案.通过实例分析说明了此方法的可行性，对于居民在购房决策时有一定的参考价值.

集对分析；熵值法；同一度矩阵

近几年来，随着居民生活水平的提高和房地产行业的突飞猛进，居民可以选择的房屋越来越多，做出最优的购房决策尤为重要.基于这种情形，购房决策的研究是一个热门课题.杜海艳等［1］利用集对分析法研究了购房决策模型，魏星等［2］研究了TOPSIS法在购房决策中的应用，尤晨［3］利用模糊数学的思想分析了购房决策中的影响因素，张华［4］利用层次分析法研究了购房决策中的诸多因素.通过这些研究发现购房决策可以利用集对分析法［5－6］、TOPSIS法、层次分析法等数学方法来研究讨论，综合以上这些方法，本文利用集对分析法、熵值法［6－7］建立了数学模型来研究购房决策问题.

1 数学模型的建立

首先，利用熵值法求出各个因素的指标权重；其次，将这几个因素所对应的值组成一个评价矩阵；接着，在各个不同的因素之间选择每个因素所对应的最优值，组成一个理想中的方案，称之为理想方案，求解出备选方案中各个因素与理想方案中对应的各个因素的同一度，并组成一个同一度矩阵；最后，利用已求出的同一度矩阵和各个因素的指标权重可以得出最终各个备选方案与理想方案的接近程度，即可选出最优方案.

1.1 购房影响因素的分析及确定

通过对已居住小区的随机调查，得到不同消费层次的购房消费者和不同购房目的购房消费者对各种因素的敏感程度不尽不同，也就是基于不同目的的购房者在购房时所关注的影响因素不同.收入偏高者认为在购房时关注房子周边的居住环境和住房的品牌；收入偏低者认为房价和住房面积最为重要；投资购房者认为房屋的升值空间最为重要.综合调查情况结合李仲飞［8］、蒋绪军等［9］对购房需求的应用研究，将购房决策因素归结为：房屋价格；户型面积；房屋地理位置；房屋的质量与品牌；周边环境设施（房屋周边交通、周边学校、房屋所在小区绿化情况等）5个因素.

1.2 影响因素权重的分析及确定

在此选择采用熵值法进行购房影响因素权重的计算.熵值法的计算步骤如下：

1）求解不同的影响因素在不同的备选方案下的重要程度，运用公式：

其中，s表示所有备选方案共有s个，t表示所有影响因素共有t个，Ymn表示第m个方案中影响因素n的指代值，则Xmn即为第m个方案中影响因素n的重要程度．

2）求解每个影响因素对所有备选方案的总的重要程度，运用公式：

其中：k＝1／lns且k＞0，－1≤Tn≤1，则Tn即为每个影响因素对所有备选方案的总的重要程度．

若某个影响因素满足Y1n＝Y2n＝Y3n＝ ＝Ymn，则Tn＝1，因其对几个因素影响没有差别，故不必考虑此影响因素．

3）求解每个影响因素的差异性系数，运用公式：

则dn即为影响因素n的差异性系数．

4）求解每个影响因素的权重，运用公式：

则wn即为每个影响因素的权重．得到每个影响因素的权重后，将其组成一个权重系数矩阵W，称之为权系矩阵W，如下：W＝［w1，w2，…，wt］．

1.3 评价模型的建立

1）建立评价矩阵B

假设备选方案有s个，其中每个方案中包含t个影响因素，则将第m个方案中的第n个影响因素记作Ymn，那么就可建立所求的评价矩阵如下：B＝［Ymn］s×t．

2）求出理想方案C

在各个备选方案中，选出每个因素所对应的最优值（注意各个因素的选择方向，正向指标选最大值为最优值，逆向指标选最小值为最优值），将所选出的t个值组成矩阵C，即为所求的理想方案，如下：C＝［Y1，Y2，…，Yt］．

3）建立同一度矩阵P

根据同一度［6－7］的定义，建立理想方案与各个备选方案之间相对应的各个元素的同一度，计算公式如下：

根据式（5），可以求出理想方案与每个备选方案之间相对应的各个元素的同一度，即可以建立集对分析同一度矩阵P如下：

式（6）中的Pmn（m＝1，2，…，s）即为理想方案中的影响因素Yn与备选方案中的影响因素Ymn的同一度．

4）求出各备选方案与理想方案的接近程度

根据1．2节中的方法，可以得到权重系数矩阵W，即权系矩阵W，如下：

根据公式：

即将式（6）中的同一度矩阵与式（7）中的权系矩阵的转置相乘，求出的即是各备选方案与理想方案的接近程度，如下：

上式中的q1即备选方案1与理想方案的接近度，q2为备选方案2与理想方案的接近度，同理，q3，q4，…，qs分别为备选方案3，4，…，s与理想方案的接近度．

5）最后给出最优方案

比较式（9）中q1，q2，…，qs的值的大小，选出最大的值，其所代表的备选方案即为最优方案．

2 实例分析

假设某位青年教师需要通过决策方案购买房屋，综合该教师所在城市的房源进行筛选，最终确定出四个小区做最后的备选方案，分别是：A小区，B小区，C小区，D小区.

根据1.1节中所陈述，最终确定的影响购房的因素是：①房屋价格；②房屋面积；③与单位的距离；④房屋设计；⑤房屋周边情况.

具体房源数据情况如表1．

根据所给的模型以下计算：

1）建立评价矩阵B：

表1 4处房源情况表Tab.1 Four listings situation table

2）求出理想方案C

房价和与为逆向指标，故选最小值为最优值；房屋户型面积、房屋环境设施情况为正向指标，故选最大值为最优值，得到C如下： C＝［30 150 3 8 8］

3）建立同一度矩阵P

根据式（5），可计算得出同一度矩阵P如下：

首先要求权重系数矩阵W，即权系矩阵W．根据1．2中求影响因素的权重的方法，计算权系矩阵W如下：

①运用式（1），得到不同的影响因素在不同的备选方案下的重要程度，如表2所示．

②运用式（2），得到每个影响因素对所有备选方案的总的重要程度，如下：

③运用式（3），得到每个影响因素的差异性系数，如下：

④运用式（4），得到每个影响因素的权重，如下：

⑤将以上5个影响因素的权重组成一个权重系数矩阵W，如下：

其次，根据式（8），得到各备选方案与理想方案的接近程度，如下：

表2 不同影响因素的重要程度Tab.2 The importance of different factors

即：q1＝0．5883，q2＝0．9148，q3＝0．4739，q4＝0．3885．所以，按照接近程度大小排序为：B小区＞A小区＞C小区＞D小区，即最优的购房方案为购置B小区的房屋．

3 结论

通过实例分析发现该数学模型模型的原理清晰、方法简便、通俗明了并且评价结果准确，因此，评价模型有效并且可行，可以在实际购房决策中发挥重大作用，因而可以进行实践推广.

同时此模型也有不足，比如对于权系矩阵的求解过程中人为影响因素很多，因而可能会给权重值得求解带来一些不稳定，使求解结果缺乏一些客观性.因此，在这一方面还应该去寻求更加科学、稳定的方法，从而使得求解过程更加完善，求解结果更加准确.

［1］杜海燕，黄奕辉.基于集对分析的购房决策模型优化［J］.华北水利水电学院学报，2012，33（2）：148－150.

［2］魏星.TOPSIS法在投资购房决策中的应用［J］.管理科学学报，2010（3）：117－119.

［3］尤晨.考虑风险偏好和模糊评价的消费者购房决策模型［J］.闽南师范大学学报：哲学社会科学版，2014（2）：46－51.

［4］张华.基于层析分析法的青年人购房模型［J］.重庆工商大学学报：自然科学版，2015（4）：85－90.

［5］赵克勤.集对分析的方案评价决策矩阵与应用［J］.系统工程，1994，12（4）：67－71.

［6］宋慈勇，赵新宇，张一中，等.基于熵权的集对分析同一度评标模型［J］.人民黄河，2010，32（1）：85－86.

［7］姜启源.数学模型［M］.北京：高等教学出版社，2003.

［8］李仲飞，丁杰，王帆.市场不确定性、购房者决策与房价［J］.中山大学学报：社会科学版，2013，53（4）：201－210.

［9］蒋绪军.商品房客户购房需求预测应用研究［D］.南宁：广西大学，2014.

责任编辑：时 凌

Application of Mathematical Models in the Purchase of House－shopping

HU Wenjun，WANG Qiang
（Department of Mathematics，Luliang University，Luliang 033001，China）

The article established the mathematical model of multi－objective decision，and set pair analy⁃sis method is used to discuss the consumers′purchase problem.Through the market survey the five factors that affect consumer buying are identified；entropy method is used to calculate the index weight of each factors and establish evaluation matrix；the ideal solution is established；the optimal purchasing scheme is obtained through a comprehensive comparison.The example analysis shows the feasibility of this method.

entropy value method；set pair analysis；matrix for a time

O29

A

1008－8423（2015）03－0290－04

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.016

2015－05－16.

校级青年基金项目（ZRXN201402）；大学生创新项目（CXCYYB201423）.

呼文军（1985－），男，硕士，主要从事复杂网络的同步控制的研究.