挖掘一道“华约”自主招生题的含义

江苏省盐城市教育局教科院 吴 彤 (邮编：224000)

挖掘一道“华约”自主招生题的含义

江苏省盐城市教育局教科院 吴 彤 (邮编：224000)

1 试题呈现

该试题取材于高中生都熟悉的“五局三胜制”，然而它不落俗套，提出了概率差的函数问题，具有较强的实际意义，本文将结合这道试题的解答与结论，力求透视出试题所隐含的深层意义.2 解题与反思

3 归纳与猜想

为了便于叙述，我们把采用只比赛一局、三局两胜制、五局三胜制、…、甲获胜的概率依次记为f1(p)、f3(p)、f5(p)、…、f2n-1(p)(n∈N*)，容易得到：

……

∴f3(p)-f1(p)=3p2-2p3-p=2p2-2p3+p2-p=p(1-p)(2p-1)，

∴f5(p)-f3(p)=6p5-15p4+12p3-3p2=3p2(2p3-2p2-3p2+3p+p-1)

=3p2(1-p)2(2p-1)，

归纳猜想 甲、乙两人进行一场比赛，已知甲赢一局的概率为p，如果采用只比赛一局、三局两胜制、五局三胜制、…、甲获胜的概率依次记为f1(p)、f3(p)、f5(p)、…、f2n-1(p)(n∈N*). 那么

4 猜想的论证

该猜想就是要证明f2n-1(p)(n∈N*)的单调性，因而只要能求出f2n+1(p)-f2n-1(p)的正负即完成证明，根据上文有：

注意到p与1-p的指数关系，笔者思考的是，不急于直接化简f2n+1(p)-f2n-1(p)，而是先求f2n+1(p)-pf2n-1(p)，则

即f2n+1(p)-pf2n-1(p)

于是f2n+1(p)-pf2n-1(p)

所以f2n+1(p)-pf2n-1(p)

即p[f2n+1(p)-f2n-1(p)]

该结论说明甲、乙两人进行比赛，如果只比赛一局，甲赢的概率大(小)，那么增加比赛的局数，甲赢的概率会更大(小)

2015-04-08)