一个不等式的推广与变式

山东省宁阳市第一中学 刘才华 (邮编：271400)

一个不等式的推广与变式

山东省宁阳市第一中学 刘才华 (邮编：271400)

这是最近江西南昌大学附中宋庆先生提出的一个有趣的最值问题，其结果如下

①

②

③

观察①、②、③式，并作进一步推广，得到如下

命题1 若x,y≥0,x+y=1，n≥1,n∈N，则

④

证明 由①式得

等号当且仅当x=0,y=1或x=1,y=0时成立.

⑤

证明 由x,y≥0,x+y=1，得

由(1+x)y2+(1+y)x2=x2+y2+xy(x+y)=(x+y)2-xy=1-xy，得

⑥

观察⑤、⑥式，并作进一步推广，得到如下

⑦

由⑤、⑥知，要证明命题2成立,只需证明n≥3,n∈N时，⑦式成立.

证明 由⑤式得(1+x)yn+(1+y)xn≤(1+x)y2+(1+y)x2≤1，等号当且仅当x=0,y=1或x=1,y=0时成立.

故命题2成立.

1 秦庆雄、范花妹.精彩源自深入的探索[J].数学通讯，2014(9)：48-49

2015-03-26)