一类非线性脉冲抛物型系统在Robin边值条件下的振动性

刘俊红, 郑素文, 李立峰, 金 琦

(装甲兵工程学院基础部，北京 100072)

一类非线性脉冲抛物型系统在Robin边值条件下的振动性

刘俊红, 郑素文, 李立峰, 金 琦

(装甲兵工程学院基础部，北京 100072)

讨论了一类含脉冲的非线性抛物型方程组非零解的振动性，利用Green定理及Jensen不等式，得出了该系统在Robin边界条件下非零解振动的若干准则。

非线性；脉冲；抛物型系统；振动性

近十几年来，非线性脉冲控制偏微分系统问题受到了学者的广泛关注，其中振动性也随之成为研究的热点之一。傅希林等[1]、Deng等[2]分别研究了相关脉冲抛物系统在2类边界条件下解的振动准则。另外，Drumi等[3]研究了一类脉冲抛物方程解的振动准则，文献[4-5]作者研究了脉冲时滞抛物方程解的振动条件，得出了相关结论。

本文在文献[1-2]的基础上，开展2方面的研究工作:1) 将系统进行改进，并对其非线性项放宽了条件，改进的系统为

(1)

2) 研究该系统在Robin边值条件

(2)

1 基本假设

对于上述边值问题，本文作如下假设。

I(tk,x,-u(tk,x))=-I(tk,x,u(tk,x)),k=1,2,…;且∫ΩI(tk,x,u(tk,x))dx≤αk∫Ωu(tk,x)dx,k=1,2,…,其中αk>0,为常数。

定义1: 若下列条件成立,则称u(t,x)为边值问题(1)、(2)的解。

1)u(t,x)关于t一阶可微，关于x二阶可微，t≠tk,k∈I∞，I∞={1,2,…}；

2)u(t,x)在t=tk(k∈I∞)处为关于t的第1类间断点的光滑连续函数，且H3成立；

3)u(t,x)在区域G内满足式(1)、(2)。

定义2: 设u(t,x)为边值问题(1)、(2)的1个非零解，若存在T>0,使得当(t,x)∈[T,+∞)×Ω时，u(t,x)恒正或恒负，则称u(t,x)在区域G内是非振动的；否则，是振动的。

2 主要结论

引理1[6]: 假设λ1为特征值问题

(3)

的最小特征值，Φ1(x)为对应的特征函数，且β(x)∈C(∂Ω,(0,+∞)),则λ1>0,Φ1(x)>0。令

F1(t)=∫∂Ωφ1(t,s)Φ1(s)ds,

定理1: 假设条件H1,…,H4成立，若脉冲微分不等式

(4)

和

(5)

无最终正解，则边值问题(1)、(2)的所有非零解在区域G内是振动的。

证明： 应用反证法进行证明。设u(t,x)为边值问题(1)、(2)的1个非零解，且存在T>0,使得当(t,x)∈[T,+∞)×Ω时，u(t,x)不变号，不妨设u(t,x)>0。

当t≠tk时，在式(1)两端乘以式(3)的特征函数Φ1(x)，并对x在Ω上进行积分，则

(6)

利用Green定理，结合式(2)、(3)，有

∫ΩΦ1(x)Δu(t,x)dx=

∫∂Ωφ1(t,s)Φ1(s)ds-λ1∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx=

F1(t)-λ1∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx,t≠tk,t≥T。

(7)

利用Jensen不等式，结合假设H2，有

t≠tk,t≥T。

结合假设H4，进一步有

(8)

结合式(6)-(8)，有

∫ΩΦ1(x)u(t,x)dx-a0(t)∫ΩΦ1(x)dx×

(9)

令

(10)

可得

t≠tk,t≥T。

(11)

Φ1(x)dx≤αk∫Ωu(tk,x)Φ1(x)dx,k=1,2,…。

于是有

(12)

由式(11)、(12)可知：V1(t)是脉冲微分不等式(4)的1个最终正解，这与定理1的条件相矛盾。所以，u(t,x)在区域G内是振动的。

是式(5)的一个最终正解，这与定理1的条件相矛盾。所以，u(t,x)在区域G内是振动的。

证毕。

定理2: 假设H1,…,H4成立，且

(13)

若对于充分大的T>0,有

(14)

和

(15)

成立，则边值问题(1)、(2)的所有非零解在区域G内是振动的。

证明： 由定理1可知,只需证明脉冲微分不等式(4)、(5)无最终正解即可。

令V1(t)为脉冲微分不等式(4)的一个最终正解，则存在T>0,使得当t≥T时，V1(t)>0,且f(V1(t))>0。于是,

由引理2可得

L1(s)ds,t≥T。

(16)

进一步可得

L1(s)ds,t≥T。

(17)

令t→+∞,并考虑式(14)，可得

(18)

利用式(15)也可以推出脉冲微分不等式(5)无最终正解。

证毕。

[1] 傅希林, 闫宝强, 刘衍胜, 脉冲微分系统引论[M].北京:科学出版社,2005,273-278.

[2] Deng L H, Tan Y M, Yu Y H.Osillation Criteria of Solutions for a Class of Impulsive Parabolic Differential Equation [J]. India J Pure Appl Math,2002, 33(7):1147-1153.

[3] Drumi B， Emil M.Oscillation of the Solutions of Impulsive Parabolic Equations[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics,1996,69(2):207-214.

[4] Fu X L, LieJune S. Oscillation Criteria for Impulsive Parabolic Boundary Value Problem with Delay[J]. Applied Mathematics and Computation,2004,153(2):587-599.

[5] Han M A, Li W N. Oscillation of Solutions for Certain Impulsive Vector Parabolic Differential Equations with Delays[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,326(1):363-371.

[6] 叶其孝,李正元.反应扩散方程引论[M].北京:科学出版社,1990:194-195.

[7] Pirapikaran R. Diff Equs Applied by R Aftabizabeh [M]. Ohio State: Ohio University Press, 1989: 296-308.

(责任编辑: 王生凤)

Oscillation Criteria for a Class of Nonlinear Impulsive Parabolic System under Robin Boundary Condition

LIU Jun-hong, ZHENG Su-wen, LI Li-feng, JIN Qi

(Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

In this paper, the authors discuss oscillation of non-zero solutions for a class of nonlinear impulsive parabolic system. Several oscillation criteria are obtained under Robin boundary condition by using the Green formula and Jensen inequality.

nonlinear; impulse; parabolic system; oscillation

1672-1497(2015)03-0108-03

2014-12-23

刘俊红(1976-)，男，讲师，博士。

O175.26

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.03.022