“关联”速度问题模型归类例析

李恒林

绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。

“关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小相等。

绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。

“关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。

一、绳相关联问题

1.一绳一物模型

（1）所拉的物体做匀速运动

例1如图1所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为υ，此时人的拉力大小为T，则此时

（

）

小结

人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。即按图3所示进行分解，则水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为υ/cosθ，会错选B选项.

（2）匀速拉动物体

例2

如图4所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为α时，船的速度是多少？

解析

方法1——微元分析法

取小角度θ，如图5所示，设角度变化θ

方法2——运动等效法

因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的A点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B，再沿BC直线运动到D。做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上4点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方

2.两绳一物模型

例3

如图7所示，两绳通过等高的定滑轮共同对称地系住一个物体A，两边以速度v匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。时，物体A上升的速度多大？

解析

以右边绳子为研究对象，应用绳连体模型的结论，当绳端物体A在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向运动时，一般要将绳物体A的真实运动分解到沿绳收缩方向和垂直于绳子方向的两个分运动。其运动效果一是沿绳方向的直线运动，这使得绳变短，二是以定滑轮为圆心的圆周运动，这使得绳转过了一个小角度，即A的运动就是这两个分运动的合成.如图8所示，有v=

3.一绳两物模型

（1）水平方向情况分析

例4

A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体A以

解析

A、B两物体通过绳相连接，且两物体都是运动的，物体的实际运动速度是合速度，物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个运动效果。设物体B的运

小结

此题涉及多个物体的速度分解，应用隔离法将每个物体的速度进行分解，再通过关联速度进行求解。

（2）竖直方向情况分析

例5如图12所示，竖直平面内放置一直角杆AOB，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两部分各有质量相等的小球A和B套在杆上，A、B间用轻绳相连，以下说法中正确的是

（

）

A.若用水平拉力向右缓慢地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变

B.若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则拉动过程中A受到的摩擦力不变

C.若以一较明显的速度向右匀速地拉A，则过程中A受到的摩擦力比静止时的摩擦力要大

D.若以一较明显的速度向下匀速地拉B，则过程中A受到的摩擦力与静止时的摩擦力相等

解析

当A滑动时，A受到的摩擦力是滑动摩擦力，在动摩擦因数不变的情况下，其大小只与正压力有关.若用水平拉力向右缓慢地拉A，两小球都处于平衡状态，选取两球组成的系统为研究对象，该系统在竖直方向上受到总重力和水平杆对A球竖直向上的

答案AC

小结

竖直方向的物体运动分析，涉及到超、失重情况，分析时应加以注意，否则易出现错误。

二、杆相关联问题

答案C

小结

对于直杆的运动，一般将其两端的运动速度沿杆和垂直于杆的两个方向分解，两端速度沿杆的分量相等。