热点题型 分类剖析

赵密密

分式在中考中占有一定的比例，它通常以填空题、选择题、计算题和解答题的形式出现，主要考查分式的概念与分式的基本性质的运用，分式的运算，分式的化简求值及利用分式方程解决实际问题等. 针对中考命题趋势，在学习中应夯实基础知识，注重对概念的理解，培养分析、解决问题的能力和对问题的探索能力.

一、 分式有意义、无意义或值为0的条件

例1 （2014·浙江温州）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）.

A. x≠2 B. x≠-1

C. x=2 D. x=-1

【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解.

解：由题意得，x-2≠0，

解得x≠2.

故选A.

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零，且分母不为零.

例2 （2014·贵州毕节）若分式的值为零，则x的值为（ ）.

A. 0 B. 1

C. -1 D. ±1

【分析】分式的值是0的条件：分子为0，分母不为0，由此条件解出x.

【解答】由x2-1=0，得x=±1.

当x=1时，x-1=0，故x=1不合题意；

当x=-1时，x-1=-2≠0，所以x=-1时分式的值为0. 故选C.

【点评】分式的值为0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点.

二、 分式的运算

例3 （2014·云南）化简求值：·x-

，其中x=.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值.

解：原式=·=x+1，

当x=时，原式=.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

三、 解分式方程

例4 （2014·湖北孝感）分式方程=的解为（ ）.

A. x=- B. x=

C. x= D. x=

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

解：去分母得：3x=2，

解得：x=，

经检验x=是分式方程的解.

故选B.

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解. 解分式方程一定注意要验根.

四、 分式方程的增根

例5 （2014·四川巴中）若分式方程-=2有增根，则这个增根是_____.

【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值，若还需求此时m的值，把x的值代入整式方程即可求得.

解：根据分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，则方程的增根为x=1. 故答案为x=1

【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤解决：①使最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

五、 分式方程的应用

例6 （2014·江苏扬州）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务. 原来每天制作多少件？

【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间-现在用的时间=10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可.

解：设原来每天制作x件，根据题意得：-=10，

解得：x=16，

经检验x=16是原方程的解，

答：原来每天制作16件.

【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本题的等量关系是原来用的时间-现在用的时间=10.

六、 转化思想、整体思想的运用

例7 （2014·四川凉山）先化简，再求值：÷a

+2-，其中a2+3a-1=0.

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值.

解：原式=÷

=·

=

当a2+3a-1=0，即a2+3a=1时，原式=.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

七、 学科内综合问题

例8 （2014·江苏扬州）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）==b.

（1）已知T（1，-1）=-2，T（4，2）=1.

①求a，b的值；

②若关于m的不等式组T（2m，5-4m）≤4，

T（m，3-2m）>p恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；

（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

【分析】（1）①已知两对值，代入T中计算求出a与b的值；

②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；

（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定a与b的关系式.

解：（1）①根据题意得：T（1，-1）==-2，即a-b=-2；

T（4，2）==1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3.

②根据题意得：

≤4， ①

>p. ②

由①得：m≥-；

由②得：m<，

∴不等式组的解集为-≤m<，

∵不等式组恰好有3个整数解，即m=0，1，2，

∴2<≤3，

解得：-2≤p<-；

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，

整理得：（x2-y2）（2b-a）=0，

∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，

∴2b-a=0，即a=2b.

【点评】此题考查了分式的混合运算、解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）