抓住关键 突破难点

周琳

“图形与几何”领域研究的主要对象是平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形，在填空、选择、解答等题中均有出现. 近年的许多考试中又出现了相关的开放题、应用题、阅读理解题、学科综合题、动点问题、折叠问题等，应引起同学们的高度重视.

一、 平行四边形的相关知识是初中阶段必须掌握的. 这类中考题目一般并不难，侧重考查对课本知识的掌握和理解运用.

例1 如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

重点：本题是考查平行四边形的判定的证明题.

难点：平行四边形多种判定方法的合理选取.

证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，

又∵∠DAE=∠BCF=90°，AE=CF，

∴△EAD≌△FCB，

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形.

【方法总结】平行四边形的判定方法：

（1）如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；

（2）如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；

（3）如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分.

二、 掌握平行四边形与矩形的关系，会利用矩形的性质与判定来解题.

例2 如图2，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE.

（1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）求证：四边形AECF是平行四边形.

重点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定.

难点：熟练掌握矩形的对边相等，四角都为90°，及平行四边形的判定定理.

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC.

又∵E、F分别是边AB、CD的中点，

∴BE=DF.

∵在△BEC和△DFA中，BE=DF，AD=BC，∠D=∠B，

∴△BEC≌△DFA（SAS）.

（2）由（1）得，CE=AF，AE=CF，

故可得四边形AECF是平行四边形.

【方法总结】矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定. 矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点. 证明一个四边形是矩形的方法：（1）先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2）先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；（3）证明有三个内角为90°.

三、 掌握平行四边形与菱形的关系，会利用菱形的性质与判定来解题.

例3 如图3，在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.

（1）求证：△DOE≌△BOF.

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.

重点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

难点：菱形判定方法的合理选取.

【分析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，然后利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案. 当然在判定四边形EBFD是平行四边形后也可以利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形直接得出答案.

【解答】（1）证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDO=∠FBO，

在△EOD和△FOB中，

∠EDO=∠FBO，

DO=BO，

∠EOD=∠FOB.

∴△DOE≌△BOF（ASA）.

（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形.

理由：∵△DOE≌△BOF，

∴BF=DE.

又∵BF∥DE，

∴四边形EBFD是平行四边形.

∵BO=DO，∠EOD=90°，

∴EB=DE，

∴四边形BFDE为菱形.

【方法总结】菱形的定义既可作为性质，也可作为判定. 证明一个四边形是菱形的一般方法：（1）四边相等；（2）首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；（3）对角线互相垂直平分；（4）对角线垂直的平行四边形.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）