“问”让例题活起来

张强胜

苏科版《数学》八年级（下）第69页：

已知：如图1，在?ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF.

求证：四边形EBFD是平行四边形.

【分析】

一问：已知条件有哪些？这些条件有什么作用？

（1）由“?ABCD”知AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，AO=OC，BO=OD等.

（2）由AE=CF，结合（1）所得可知OE=OF，△BOE≌△DOF等.

二问：求证什么？有哪些方法？

要证明四边形EBFD是平行四边形，有以下方法：

（1）证明四边形EBFD两组对边分别平行；

（2）证明四边形EBFD一组对边平行且相等；

（3）证明四边形EBFD两组对边分别相等；

（4）证明四边形EBFD两条对角线互相平分.

三问：结合已知和求证，我们选择哪种方法？

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵AE=CF，

∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.

∴四边形EBFD是平行四边形.

四问：还有其他证明方法吗？

平行四边形的判定与性质的作用：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线平行、线段相等、角相等的重要方法. 若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.

判定四边形是平行四边形，常用上述四种方法，根据题中的条件恰当选择判定方法，把题中的间接条件转化为直接条件即可.

凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不需要再用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.

五问：还能得出其他的结论吗？

（1）BE=DF；

（2）BF=DE；

（3）BE∥DF；

（4）BF∥DE.

六问：条件可以换吗？

（1）“AE=CF”换为“AF=CE”；（可以）

（2）“AE=CF”换为“BE∥DF”；（可以）

（3）“AE=CF”换为“BE=DF”；（不可以）

（4）“AE=CF ”换为“BF⊥AC，DE⊥AC”；（可以）

（5）“点E、F在AC上，且AE=CF”换为“∠ABC和∠ADC的角平分线分别交AC于E、F”；（可以）

（6）“点E、F在AC上”换为“点E在CA延长线上，点F在AC延长线上”，如图2所示. （可以）

七问：题目改为“已知：如图3，在?ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF，点G、H在BD上，且BG=DH.

求证：四边形EGFH是平行四边形.

证明：在?ABCD中，OA=OC，OB=OD，

又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF.

即OE=OF.

又∵BG=DH，∴OB-BG=OD-DH.

即OG=OH.

∴四边形EGFH为平行四边形.

八问：对于上一题，你可以提出更多的问题吗？

【总结】做一道数学题，多一些“问”，会让我们更深刻地理解数学问题，提高解题能力，举一反三.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）