关于伪Smarandache函数与除数函数的混合均值

郝虹斐，高 丽，鲁伟阳

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

关于伪Smarandache函数与除数函数的混合均值

郝虹斐，高 丽，鲁伟阳

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

利用初等方法和解析方法研究了一个包含伪Smarandache函数Z(n)与Dirichlet除数函数d(n)的混合均值，并得到一个较强的渐近式。

伪Smarandache函数；混合均值；Dirichlet除数函数；渐近公式

在《Only Problems Not Solutions》一书中，美籍罗马尼亚数论专家F.Smarandache教授给出了著名的Smarandache函数，后来人们依据Smarandache函数提出伪Smarandache函数Z(n)的定义：对任意的正整数n，满足n|m(m+1)/2的最小的正整数m，即Z(n)=min{m:n|m(m+1)/2,m∈N}。根据函数Z(n)的定义计算可得到：Z(1)=1，Z(2)=3，Z(3)=2，Z(4)=7，Z(5)=4，Z(6)=3，Z(7)=6，Z(8)=15，Z(9)=8，Z(10)=4，…。关于函数Z(n)的均值方面的研究，受到了许多学者的关注及研究，并获得了不少有意义的结论[1，2]。例如：Lou Yuanbing[3]研究的是一个包含伪Smarandache函数的对数函数的均值问题，并得到渐近公式：

Cheng Lin[4]也讨论了一个包含p(n)与伪Smarandache函数的均值，得到渐近式：

吴启斌[6]讨论的是函数S(n)与Z(n)的复合函数S(Z(n))的均值，得到渐近公式

其中ci(i=1,2,…,k)为可计算的常数，S(n)为著名的Smarandache函数。

本文作者研究了复合函数Sdf(Z(n))的均值[7]，得到一个较强的渐近式

其中ai(i=1,2,…,k)为可计算的常数，Sdf(n)为著名的Smarandache双阶乘函数。

刘华[8]则讨论了关于Z(n)复合函数SL(Z(n))的均值，同样得到一个有趣的渐近式

其中bi(i=1，2，…，k)是可计算常数，SL(n)为著名的F.Smarandache LCM函数。

本文利用初等及解析方法研究了一个包含伪Smarandache函数Z(n)与Dirichlet除数函数d(n)的混合均值问题，并得到下面定理中较强的渐近公式。

1 相关引理

引理1[9,10]对任意的素数p≥3及k∈N，

Z(pk)=pk-1。当p=2时，则有

Z(2k)=2k+1-1。

引理2[9]若n为任意合数，则Z(n)=max{Z(m):m|n}。

引理3[11]设x>1为实数，则有

其中ci(i=1,2,…,k)是常数，并且c1=1。

2 主要定理及证明

定理 设k≥2为给定的整数，则对任意的实数x≥2，有渐近式

证明：事实上，在和式

(1)

(2)

(3)

其中bi(i=2，3，…，k)为可计算的常数。

(4)

其中ci(i=2，3，…，k)为可计算的常数。

(5)

其中ai(i=2，3，…，k)为可计算的常数。

(6)

综上可知，

其中ai(i=2，3，…，k)为可计算的常数。证毕。

[1]Kashihara Kenichiro.Comments and topics on smarandache notions and problems[M].USA:Erhus University Press,1996.

[2]Majumdar A A K.A note on the Pseudo-Smarandache function[J].Scientia Magna,2006,2(3)：1-25.

[3]Lou Yuanbing.On the pseudo Smarandache function[J].Scientia Magna,2007,3(4):48-50.

[4]Cheng Lin.On the mean value of the Pseudo-Smarandache function[J].Scientia Magna,2007,3(3):97-100.

[5]Zheng,Yani.On the Pseudo Smarandache function and its two conjectures[J].Scientia Magna,2007,3(4):74-76.

[6]吴启斌.一个包含Smarandache函数的复合函数[J].纯粹数学与应用数学，2007,23(4)：463-466.

[7]鲁伟阳，高丽.关于Smarandache双阶乘函数与伪Smarandache函数的混合均值[J].江西科学，2014,32(2):189-191+251.

[8]刘华，吕松涛.一个包含F.Smarandache函数的复合函数[J].江西科学，2009,27(3)：325-327.

[9]马荣.Smarandache函数及其相关问题研究[M].USA：The Educational Publisher,2012.

[10]Richard Pinch.Some properties of the Pseudo Smarandache function [J].Scientia Magna,2005,1(2)：167-172.

[11]Apostol T M.Introduction to analytic number theory[M].New York: Spring-Verlag,1976.

[12]潘承洞，潘承彪.素数定理的初等证明[M].上海：上海科学技术出版社，1988.

[责任编辑 毕 伟]

On the Hybrid Mean Value of the Pseudo-Smarandache
Function and the Dirichlet Divisor Function

HAO Hong-fei,GAO LI,LU Wei-yang

(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an 716000,China)

The main purpose of this paper is using the elementary method and analytic method to study the hybrid mean value problem invoving the Pseudo-Smarandache function and the Dirichlet divisor function,and give a sharper asymptotic formula for it.

Pseudo-Smarandache function; hybrid mean value; dirichlet divisor function; asymptotic formula

2015-01-07

陕西省科技厅科学技术研究发展计划项目(2013JQ1019)；陕西省教育厅专项科研计划项目(12JK0893)；延安大学校级科研计划项目(YD2014-05)；延安大学研究生教育创新计划项目

郝虹斐(1988—)，女，陕西洛川人，延安大学在读硕士研究生。

O156.4

A

1004-602X(2015)02-0046-03