二元、三元算术

程佳

摘 要：算术—几何平均值不等式在证明一些复杂不等式，解决实际问题，求函数最值等问题上有着广泛的应用，通过举例说明了简单的二元、三元均值不等式的应用。

关键词：平均值不等式；最大（小）值

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）03-102-02

不等式是研究数学问题的一种重要工具和手段，在众多的不等式中算术—几何平均值不等式 （ ）是一个重要不等式。本文主要讨论了平均值不等式二元、三元平均值不等式的应用，在每一个方面又分别列举了相应的典型例题，由此我们可以看出平均值不等式在解题、证明一些复杂问题过程中的一些巧妙之处，也使解题思路更加开阔，这样难题也变得简单了。

1、平均值不等式在证明中的直接应用

例1 已知 +，且 ，求证：

证明：

=

10 ﹒10 ﹒10

=1000

1000

=1000

∴ （ 时，取“=”）

推广：若 >0 且 ，则

由例1证法可得证

2、平均值不等式在证明中的间接应用

试比较 ①

②

这两个不等式，将①式两边平方即得②式，但对①式， 不能是负数，而对于②式 却可以是任意实数，可见将平均值不等式①变形为不等式②的形式后应用范围更为宽广，而且应用更加生动灵活。

（1）正用：

例3：设 ，且a+c-2b 0，求证：

证明：依②式：

故原不等式成立

此例，传统证法是构造方程，借助判别式；本文巧用②式，一目了然。

（2）逆用：不等式两边取倒数并改变不等号方向，即

例5：已知 +，求证：

证明：左边=

>

=

=2

=右边

注：此处三次连续逆用②式，由于 三式不可能同时成立，故只能用“>”，而不能用“ ”

（3）叠用：由对称性得到n个相似的式子，不等式两边分别相乘。

例6：设 +，求证：

证明：依②式：

即

同理

三式叠（叠乘），开平方得

注：此处可省去 的符号讨论

例7：设 +，且 ，求证：

证明：考虑

=

=

即

同理

故得

注：这两个例子恰好一正一逆，连续叠用了②式

（4）配用：在巧用②式时，往往还可以配用其它不等式。

例8：证明：对任意 有不等式

证明：依②式，并配用 ，其中 ，

得

=

=8

（5）变用：将题设或结论通过变形，以适合②式的各种巧用。

例9：已知 为整数，求证：

证明：

例10：实数 满足 求证：

证法1：令 ，则

依②式知 或

解得 又

于是

利用公式 证明不等式的这个思路确实令一大批不等式获得巧妙，简洁的证明，且赋予规律，易于掌握，不容忽视！

通过以上的讨论，我们可以看出，在中学数学中，算术—几何平均值不等式都有其广泛的应用，不仅在数学学科内有着重要的研究价值，也在实际生产、生活中有着不可或缺的作用。

参考文献：

[1] 吕志新 孙建斌.巧用 证明不等式.中学数学，2002：6.

[2] 王池富 例谈不等关系解应用题.中学数学，1999：5

[3] 黄言勤 一道不等式的证明及推广.数学通报，2003：3