基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法

孙鹏，杨永越

(沈阳工业大学电气工程学院，辽宁沈阳110870)

基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法

孙鹏，杨永越

(沈阳工业大学电气工程学院，辽宁沈阳110870)

在高压电气设备介损角在线监测中，由于存在工频周期信号的非同步采样和截断现象，从而造成利用FFT算法计算介损角产生较大的误差。本文分析了非同步采样造成的FFT算法的泄漏效应，提出了一种基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法。该方法采用相关Blackman窗对系统电流与电压信号进行加权，然后利用频谱相位差校正法进行频谱校正以获得基波相位，最后根据电流与电压的基波相位差来计算出介损角。仿真结果表明该算法有效地克服了非同步采样和截断造成的介损角测量误差，并且能够大大降低信号频率波动、高次谐波对介损角测量精度的影响。

介损角;FFT;非同步采样;泄漏效应;相关Blackman窗;频谱校正

1 引言

介质损耗角正切值tanδ是反映绝缘介质损耗大小的特征参量，它反映了绝缘介质绝缘性能的好坏，是高压电气设备状况的一个非常重要的指标。

目前，介损角的测量方法主要有硬件法和软件法。硬件法主要以西林电桥法［1］、过零比较法［2］和自由矢量法［3］等为代表，但该类方法硬件处理环节过多，抗干扰性能弱，介损角测量误差较大。软件法主要有FFT［4-7］、波形拟合法［8］和滤波法［9-11］等。其中，FFT计算速度快，检测结果不受高次谐波和电子电路零漂影响，已成为现场检测介损角最常应用的算法。由于电力系统频率波动会造成非同步采样，利用FFT处理信号会造成频谱泄漏效应和栅栏效应，从而严重影响介损角的测量精度。为了减少频谱泄漏的影响，基于Hanning窗［4，5］、Blackman-Harris窗［6，7］、卷积窗［12］等加窗插值FFT介损角测量算法相继被提出。为了降低栅栏效应的影响，提出了用来估计信号参数的频谱插值FFT算法［4，6，13］和频谱相位差校正法［14，15］等。但由于介损角非常小(0.001～0.02rad)，极易被现场随机干扰和泄漏引起的误差所湮没。因此，需改进窗函数性能及信号参数估计方法以更好地抑制频谱泄漏和栅栏效应的影响，提高介损角的测量精度。

本文分析了FFT算法非同步采样造成的频谱泄漏效应和栅栏效应，提出了基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法。该方法能够有效地抑制频谱泄漏和栅栏效应的影响，大大降低信号频率波动、信号可能存在的高次谐波以及随机噪声干扰等因素对介损角测量精度的影响，从而可以提高介损角的测量精度。

2 FFT的泄漏效应

FFT算法产生频谱泄漏是由于实际工程应用中对信号进行傅里叶变换时，往往需要把无限长的时域信号限制在有限长的时间区域内来进行信号处理。信号的截断相当于在时域中把信号与一个矩形窗相乘，在频域中则相当于信号频谱与矩形窗频谱的卷积。卷积的结果会造成分析频谱扩散到原信号频谱以外的范围，这种频谱上的失真被称为“频谱泄漏”。

当对信号进行非同步采样时，信号的各次谐波分量不能保证恰好位于频率分辨点上，而有可能落在某两个频率分辨点之间的位置上，由此造成通过FFT算法不能直接得到各次谐波分量的准确值，而只能以临近的频率分辨点上的值来近似替代，这就形成了栅栏效应。

3 相关Blackman窗及其频谱特性

对于长度为M的矩形窗序列，其时、频域表达式为:

Blackman窗函数的时域表达式为:

其频域表达式为:

式中

WR(ω)为矩形窗傅里叶变换的幅值函数，即:

相关Blackman窗的表达式为:

式中，n=0，±1，…，±(M－1)，其正比于两个Blackman窗的相关函数，故称为相关Blackman窗函数。将相关Blackman窗函数进行归一化处理可得到归一化的相关Blackman窗函数为:

式中，归一化因子wf为:

相关Blackman窗函数的傅里叶变换为:

由式(10)可知，相关Blackman窗函数是偶函数，具有零相位特性。现将相关Blackman窗函数沿横坐标平移M－1个点，则相关Blackman窗函数变为线性相位。当相关Blackman窗函数沿横坐标移位后，则WCB(ejω)变为:

式中，N=2M－1。再将WCB(ejω)进行归一化处理变为:

窗函数频谱的主瓣宽度与频谱分辨率有关，主瓣越大，则会引起频谱分辨率降低;旁瓣与泄漏有关，旁瓣峰值越大，泄漏越多，旁瓣衰减速率越快，对泄漏抑制越强［16］。

相关Blackman窗函数和Blackman-Harris窗函数的幅频特性曲线如图1所示。

图1 相关Blackman窗和Blackman-Harris窗的幅频特性Fig．1 Amplitude-frequency characteristic curve of correlation Blackman window and Blackman-Harris window

由图1可知，在两种窗函数长度相等的情况下，相关Blackman窗函数的旁瓣峰值和旁瓣衰减速率均优于Blackman-Harris窗函数，因此能更有效地抑制频谱泄漏。虽然相关Blackman窗函数的主瓣宽度稍宽，在一定程度上降低了频谱分辨率，但可以采用频谱插值FFT算法或频谱相位差校正法进行修正。

4 相关Blackman窗的FFT介损角测量算法

设周期性电气信号为:

式中，Am为信号幅值;fm为信号频率;φm为初始相角。则对电气信号以采样频率fs进行采样可以得到序列xm(n)为:

式中，Ts=1/fs为采样周期;ωm=2πfmTs。

对信号xm(n)加相关Blackman窗可得到有限长离散加窗序列xm1(n):

若xm(n)的离散时间傅里叶变换(DTFT)为Xm(ejω)，则Xm(ejω)为:

则加窗信号xm1(n)的频谱Xm1(ejω)为:

式(17)中等号右边两项分别对应于相关Blackman窗函数的频谱W'CB(ejω)沿频率轴向右移ωm和向左移ωm得到的正频率分量和负频率分量，由于离散窗函数的幅值谱特性类似于低通滤波器，截止频率约为窗谱主瓣宽度的一半，所以当ωm大于此截止频率时，这两项之间彼此的影响极小，当仅考虑0≤ωm≤π时，则:

对信号xm1(n)进行离散傅里叶变换(DFT)，则可以得到离散频谱Xm1(k)。Xm1(k)实质上就是对连续频谱Xm1(ejω)以Δω=2π/N进行等间隔抽样，所以Xm1(k)为:

考虑到实际应用中可能存在的非同步采样，NTs可能不是信号周期Tm(Tm=1/fm)的整数倍，则ωm/Δω为:

所以ωm/Δω也不是整数，设ωm/Δω为:

式中，km为正整数;λm(－0.5≤λm≤0.5)为小数。

用DFT来计算第km根谱线的频谱Xm1(km)为:

通过求出λm后，就可以求出被分析信号的基波参数。由式(20)可以得出信号基波频率fm为:

式中，Δf为频率分辨率。

基波幅值Am为:

基波相位φm为:

通过采用频谱相位差校正法［14］可以求取信号频率校正量λm来进行频谱校正，从而可以求出基波的准确参数。

对信号xm(t)以采样频率fs采连续两段样本，每段信号采样点数为N点，则两段信号的函数表达式为:

式中，φ2和φ3分别是两段信号的初始相角。

对上述两段信号分别加相同的相关Blackman窗，并且进行离散傅里叶变换。设T为窗函数的周期，则式(27)变换为:

由式(28)可知:

将式(23)和T=NTs代入式(29)，可得:

由于km为正整数，相位以2π为周期，故2kmπ可以忽略不计，则λm为:

由式(25)可得:

则式(31)可化简为:

由于angle(Xm2(km))和angle(Xm3(km))分别是信号Xm2(km)和Xm3(km)加相同的相关Blackman窗并且进行离散傅里叶变换后km点处的相位，则其相位均在－π～π之间，而两者之间的相位差却在－2π～2π之间，因而需要对其相位差进行调整，则调整后的相位差Δφ为:

根据式(34)和式(35)可以得到调整后的频率校正量λm为:

设电流信号和电压信号加相关Blackman窗后进行离散傅里叶变换所得到的结果分别为X1(k)和X2(k)，根据相位差校正法所得到的频率校正量分别为λ1和λ2，则介损角为:

5 计算机仿真分析

为了验证基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法的有效性，本文在多种干扰状态下对该算法进行了计算机仿真研究，其中绝缘介质采用阻容并联电路加以模拟，其电阻Rx=100MΩ，电容Cx= 7000pF，取信号基波频率为50.5Hz，3次和5次谐波分量幅值分别占基波幅值的10%和1%。根据tanδ =1/(ωRxCx)，可以求得介损角δ的理论值为0.00450223rad。

取信号采样频率为1280Hz，采样点数为1025点。对信号采连续两段样本，每段采样点数为1025点，用频谱相位差校正法求取电力系统频率校正量λm，进而可以求出基波的准确参数。通过仿真研究，分析了基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法和基于Blackman-Harris窗插值FFT介损角测量算法在电压频率波动、3次谐波分量变化和白噪声变化时对介损角测量的影响。

5.1 电压频率波动的影响

设电源频率在(50±0.5)Hz范围内变化，利用上述方法所得的介损角如表1所示。

表1 电压频率波动对介损角测量的影响Tab．1 Influence of frequency fluctuation on measurement of dielectric loss angle

由表1可知，当电压频率在49.5～50.5Hz范围内波动时，采用本文算法计算介损角相对误差小于0.04%，远小于基于Blackman-Harris窗的插值算法的介损角相对误差。

5.2 3次谐波的影响

电力系统中，3次谐波分量往往占较大比重，3次谐波分量幅值与基波分量幅值比值变化时计算得到的介损角如表2所示，其中A3/A1是3次谐波分量和基波分量的幅值之比。

表2 3次谐波对介损角测量的影响Tab．2 Influence of third-harmonics on measurement of dielectric loss angle

由表2可知，当3次谐波分量幅值与基波分量幅值的比值在0.1～0.9范围内变化时，采用本文算法计算介损角的相对误差小于0.03%，完全能达到介损角测量精度的要求。此外，3次谐波分量的变化对该介损角测量算法的影响很小，计算介损角时本文算法明显优于基于Blackman-Harris窗的插值算法。

5.3 白噪声的影响

设信噪比分别为10dB、30dB、50dB、70dB和90dB，考虑到白噪声具有随机性，研究中对每个点计算100次。表3所示为不同信噪比下介损角的最大相对误差。

表3 白噪声所造成的最大相对测量误差Tab．3 Relative error ofmeasurement of dielectric loss angle caused by white noise

仿真结果表明，随着信噪比的提高，采用本文算法计算得到的介损角的误差呈下降趋势。当信噪比过低(＜30dB)时，介损角的最大相对误差很大，这表明误差足以湮没其真实值。因此，在白噪声干扰较严重时，应采取合适的降噪措施以提高介损角的测量精度。若采用足够多次测量，并取其平均值，则可以有效地降低测量误差，如表4所示。当信噪比大于70dB时，介损角均值的相对误差将小于0.03%。

表4 白噪声所造成的均值相对测量误差Tab．4 Mean relative error ofmeasurement of dielectric loss angle caused by white noise

6 结论

采用FFT算法进行介损角测量时，因非同步采样造成泄漏效应，影响了介损角测量精度。本文针对此问题提出了基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法，有效地抑制了频谱泄漏，提高了介损角的测量精度。仿真结果表明，基于相关Blackman窗的FFT介损角测量算法受频率波动和3次谐波分量的影响很小。

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FFT algorithm of dielectric loss anglemeasurement based on correlation Blackman w indow

SUN Peng，YANG Yong-yue

(School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China)

In on-linemonitoring dielectric loss angle of high voltage electric equipment，the FFT algorithm brings significant errors because of asynchronous sampling and the truncation of power systems frequency signal．In this paper，leakage effect of FFT algorithm caused by asynchronous sampling is analyzed，a FFT algorithm of dielectric loss anglemeasurement based on correlation Blackman window is presented．Firstly，the power systems current and voltage signals areweighted by the correlation Blackman window．Then，the fundamental phase angles are calculated with spectral phase difference correction method．Lastly，the dielectric loss angle is calculated by the phase difference of the fundamental current and voltage．The simulation results show that the proposed algorithm can effectively overcome dielectric loss anglemeasurement errors because of asynchronous sampling and the truncation of power systems frequency signal，and improvemeasurementaccuracy of dielectric loss angle greatly under such conditions as power systems signal frequency fluctuation and higher harmonics．

dielectric loss angle;FFT;asynchronous sampling;leakage effect;correlation Blackman window; spectrum correction

TM835.4

A

1003-3076(2015)04-0043-06

2013-09-23

孙鹏(1958-)，男，辽宁籍，教授，博士，研究方向为电器理论与设计、继电保护的研究;杨永越(1988-)，男，河北籍，硕士研究生，研究方向为电气设备在线监测与故障诊断。