从一道题目看“转化思想”

刘伟

我们在解决数学问题时，常常把有待解决或难以解决的问题，通过某种转化手段，使它转化成已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答，这里运用的就是转化思想.教育家维果茨基认为，学生发展具有两种水平：一是已经达到的发展水平，二是可能达到的发展水平。从某种程度上来说，转化思想就是从“已达到的发展水平”，上升到“可达到的发展水平”，使学生在原有的基础上，提高分析和解决问题的能力。

题目：设x，y是正实数，求代数式 + 的最大值.

此题属于基本不等式范畴，但形式上看又有差距，需要进行一定的转化变形，将未知转化为已知是解决此题的关键。

一、利用整体思想转化为基本不等式

我们知道运用基本不等式a+b≥2 求最值时需要满足两个特征：一是左边a，b同为正数（a，b同为负数时为a+b≤-2 ）；二是右边ab之积需为一个常数。而形如 + 的代数式也是符合的，更进一步我们可以将其中的a，b代换为一个整体，例如 + 仍然符合上述特征。

解：令A=（ +m+ +n）-m-n= + -m-n

当则（2m+1）∶m=1∶2n∶（2n+2）=2∶1时，原式可转化为基本不等式求解.

解得：m=- n=- ，即A= + +2≤- ×2 +2

当且仅当 = ，即x= y时，取得最大值2- .

二、通过分离常数转化为基本不等式

用基本不等式求代数式 + 的最值是我们非常熟悉的，形如 + 的代数式通过分离常数 + =2+（ + ）+1也能转化为基本不等式求解，这给我们提供了借鉴，令A= + ，x>0，y>0.

不妨将分母2x+y，x+2y分别看成一个整体，设两分式的分母2x+y=ax+2y=b （a>0，b>0），得x= y= ，代入分离常数、化简：

A= + = + =2-（ + ），a>0，b>0.

由此我们将原问题转化为基本不等式的最值问题.

利用基本不等式得A≤2-2 =2- ，

当且仅当 = ，即b= a时取得最大值2- .

三、通过换元转化为函数的最值

此问题中有两个未知数，而且两未知数不存在等量关系，不能通过常规的“代入法”达到消元的目的。仔细观察代数式，我们注意到两个分式的分子、分母都是x，y一次关系式，利用分式的基本性质，将分子、分母同时除以x（或y），则可化为关于 的函数。

由已知条件x，y是正实数，分子、分母同除以x得：

A= + = +

令 =t，t>0，代入化简得A= + = .

至此，我们将问题转化为求函数最值的问题.

由判别式法求得A≤2- 或A≥2+

∵t>0得A= + < +1

∴A≤2- ，当t= ，即x= 时y取得最大值2- .

四、回顾反思

布卢姆在《教育目标分类学》明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。如果学生在掌握双基的同时，接受了数学思想，学会了数学方法，就能激发学习数学兴趣，提高分析问题和解决问题的能力，并为以后的数学学习打下坚实的基础。本例是从联想的角度，借助整体思想、换元等技巧实现转化。在面对一个陌生的问题时，学生往往不能马上找到解决之法，而是在直觉选择的基础上，通过联想、化归与构建的过程来确定解题的识别点。“遇新思陈、推陈出新、举一反三”就是要在当前问题与头脑中已有经验之间建立联系。无论在什么情况下都应该清醒地看到，所积累的知识和经验都是解决问题的根本，善于转化，很多问题都是可以迎刃而解的。

编辑 王团兰endprint