电场中的圆周运动问题分析

苏静

在物理高考中，物体在匀强电场内做圆周运动是一个考点，对学生来说也是一个难点，而解决这一类问题的关键是准确地找到等效最高点的位置.物体在匀强电场中能不能做完整的圆周运动，就看它能不能过等效最高点，也就是物体在等效最高点的速度满足某一值时，才能通过最高点.我们知道小球在细线作用下在竖直平面内做圆周运动，在最高点时速度最小，最低点时速度最大，利用速度我们可以很方便的判断物体运动的最高点和最低点.在最高点处F合=mg+T=mv2/R，当T=0时速度有最小值vmin=gR，在最高点的速度必须有v≥gR，才能做完整的圆周运动.但在电场以及电场和重力场的复合场中，最高点就不一定是速度的最小位置了，在这一类问题中找到速度最小的位置，也就是类似于重力场中运动的最高点，就是我们解决问题的关键，在物理学中，我们把这个位置叫做等效最高点，在利用等效最高点解决这类问题时类似于竖直方向的圆周运动的最高点，从等效最高点移到圆周上任何一点，合力都是做正功，动能增加，所以这点就是速度的最小点.本文就物体在匀强电场和重力场的复合场中的圆周运动问题展开论述.

情形一：物体在水平面内做圆周运动，电场方向是水平的.

例1在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电荷量为+q的小球，当沿水平方向加上场强为E的匀强电场后如图1所示，小球处于平衡状态，先给小球一垂直于细线的初速度v0使小球在水平面上做圆周运动，在小球运动过程中不考虑空气阻力的影响.求

（1） 小球运动过程中的最小速度？

（2） 若小球恰好做圆周运动，则v0的最小值为多少？

图1图2解析（1）小球在竖直方向上受到重力和支持力作用，且重力和支持力大小相等，水平面内上受到电场力和沿绳方向的拉力.小球处于平衡位置时，受4个力的作用，我们在平衡位置过圆心做一直线与圆相交于两点A和B（如图2所示）；很容易证明A、B两点所受电场力都是由A指向B，从A点到圆上任何一点电场力均做正功；由此可知：A点的速度最小，它就是圆周运动中的等效最高点， 在等效重力场中应用机械能守恒定律：

mv20/2=Eq×2L+mv2/2

解得小球运动过程中的最小速度为：

v=v20-4EqLm

（2） 若小球恰好做圆周运动，再由圆周运动的知识得小球在A处的速度满足以下条件：

Eq=mv2/L

联列以上两个等式可得：

v0=5EqLm

情形二：物体在竖直平面内做圆周运动，电场方向是竖直的.

例2如图3所示，质量为m，带电量为+q的小球，用一长为L的绝缘细线系于一足够大的匀强电场中的O点，电场方向竖直向上，电场强度为E，为使带电小球能在竖直面内绕O点做完整的圆周运动，求

（1） 在最低点时施给小球水平初速度v0应满足什么条件？

（2） 小球在圆周运动中细线受到的最大拉力应满足什么条件？

图3图4解析小球在竖直方向上受到重力和电场力作用，它们的方向相反.小球的运动分三种情况：

（a）若Eq=mg，只要v0>0，小球即可在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动. 细线的拉力处处相等，其大小F=mv20/L

（b）若Eq

G′=mg-Eq

在等效重力场中应用机械能守恒定律：

mv20/2=G′×2L+mv2/2

若小球恰好做圆周运动，再由圆周运动的知识得小球在A处的速度满足以下条件：

G′=mv2/L

联列以上三个等式可得：

v0=5（mg-Eq）Lm

即在最低点施给小球速度因该大于或等于5（mg-Eq）Lm

小球做圆周运动，由等效重力场可知，当速度最大时，拉力也最大，所以小球位于B点时细线的拉力最大，在A处受拉力满足以下条件：

F-G′=mv20/L

联列第一问的答案可得：F≥6mg-6Eq

（c）若Eq>mg，小球处于平衡位置时，受3个力的作用，我们在平衡位置过圆心做一直线与圆相交于两点A和B；很容易证明A、B两点所受电场力和重力的合力是由B指向A（如图4所示），从B点到圆上任何一点合力均做正功；由此可知：B点的速度最小，它就是圆周运动中的等效最高点，小球所受等效重力为：

G′= Eq-mg

若小球恰好做圆周运动，再由圆周运动的知识得小球在A处的速度满足以下条件：

G′=mv20/L

联列以上两个等式可得：

v0=（Eq-mg）Lm

即在最低点施给小球速度因该大于或等于5（mg-Eq）Lm

小球做圆周运动，由等效重力场可知，当速度最大时，拉力也最大，所以小球位于A点时细线的拉力最大，在A处所受拉力满足以下条件：

F-G′=mv2/L

在等效重力场中应用机械能守恒定律：

mv2/2=G′×2L+mv20/2

联列可得：F≥6Eq-6mg

情形三：物体在倾斜平面内做圆周运动，电场方向是沿斜面向下的.

例3在倾斜的光滑斜面上的O点系一长为L的绝缘细线，斜面倾角为θ，线的另一端系一质量为m、带电荷量为+q的小球，当沿斜面向下的方向加上场强为E的匀强电场后，如图5所示，小球处于平衡状态，先给小球一垂直于细线的初速度v0使小球在水平面上做圆周运动，在小球运动过程中不考虑空气阻力的影响.求

（1） 小球运动过程中的最小速度？

（2）若小球恰好做圆周运动，则v0的最小值为多少？以及运动过程中细绳的最大拉力？

图5图6解析（1）小球受到重力、电场力、绳的拉力和斜面支持力作用，且重力垂直斜面的分量和支持力大小相等，斜平面内受到电场力、重力沿斜面的分量和沿绳方向的拉力.小球处于平衡位置B时，受4个力的作用，我们在平衡位置过圆心做一直线与圆相交于两点A和B（如图6所示）；很容易证明A、B两点所受电场力和重力的合力都是由A指向B，从A点到圆上任何一点合力均做正功；由此可知：A点的速度最小，它就是圆周运动中的等效最高点，小球等效重力为：

G′= Eq+mgsinθ

在等效重力场中应用机械能守恒定律：

mv20/2= G′×2L+mv2/2

解得小球运动过程中的最小速度为：

v=v20-4（Eq+mgsinθ）Lm

（2） 若小球恰好做圆周运动，再由圆周运动的知识得小球在A处所受速度满足以下条件：

G′=mv2/L

联列以上两个等式可得：

v0=5（Eq+mgsinθ）Lm