圆与圆锥曲线的交汇性问题例析

王勇

随着新课程标准的不断推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生了很大的变化，对圆的要求大大提高，对圆锥曲线的要求则相对降低.因此，近几年圆与圆锥曲线的交汇性问题渐渐成为高考的命题热点，此类问题不仅将圆的内容及性质纳于其中，也将对圆锥曲线的要求体现出来，是当前一种新的命题趋势.下面精选2014年高考中的部分试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

1.圆与椭圆的交汇性问题

图1例1（2014年陕西卷文20）如图1，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点（0，3），离心率为12，左、右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0）.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l：y=-12x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|=534，求直线l的方程.

分析（1）构造关于a，b，c的方程组求解；

（2）利用直线与圆的位置关系得|CD|，将直线方程与椭圆方程联立得方程组，利用根与系数的关系得|AB|，构造关于m的方程求m，进而得出直线l的方程.

解析（1）由题设知b=3，

ca=12，

b2=a2-c2，解得a=2，

b=3，

c=1，∴椭圆的方程为x24+y23=1.

（2）由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，

∴圆心到直线l的距离d=2|m|5，

由d<1得|m|<52. （*）

∴|CD|=21-d2=21-45m2

=255-4m2.

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由y=-12x+m，

x24+y23=1，

得x2-mx+m2-3=0，

由根与系数的关系可得

x1+x2=m，x1x2=m2-3.

∴|AB|=[1+（-12）2][m2-4（m2-3）]

=1524-m2.

由|AB||CD|=534得4-m25-4m2=1，

解得m=±33，满足（*）.

∴直线l的方程为

y=-12x+33或y=-12x-33.

命题立意知识：椭圆的标准方程及其几何意义，圆的方程和性质，直线与圆、椭圆的位置关系.能力：考查方程的思想、转化与化归思想，同时对运算能力的要求较高.试题难度：较大.

例2（2014年天津卷理18）设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=32|F1F2|.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切. 求直线l的斜率.

分析（1）直接利用|AB|=32|F1F2|及椭圆中a，b，c之间的关系得到a，c的关系，进而求得离心率；

（2）利用F1P·F1B=0求出P点坐标满足的条件，再由P点坐标满足椭圆的方程，求出P点坐标，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解.

解析（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）.

由|AB|=32|F1F2|，可得a2+b2=3c2.

又b2=a2-c2，则c2a2=12，所以，椭圆的离心率e=22.

（2）由（1）知，a2=2c2，b2=c2，故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.

设P（x0，y0），由F1（-c，0），B（0，c），有F1P=（x0+c，y0），F1B=（c，c）.

由已知，有F1P·F1B=0，

即（x0+c）c+y0c=0.

又c≠0，故有

x0+y0+c=0①

又因为点P在椭圆上，故

x202c2+y20c2=1 ②

由①和②可得3x20+4cx0=0，

而点P不是椭圆的顶点，故x0=-43c，

代入①得y0=c3，即点P的坐标为（-43c，c3）.

设圆的圆心为T（x1，y1），则

x1=-43c+02=-23c，y1=c3+c2=23c，

进而圆的半径

r=（x1-0）2+（y1-c）2=53c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx.

由l与圆相切，可得|kx1-y1|k2+1=r，即|k23c+23c|k2+1=53c，

整理得k2-8k+1=0，解得k=4±15.

所以，直线l的斜率为4+15或4-15.

命题立意知识：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.能力：通过用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力.试题难度：较大.

2.圆与双曲线的交汇性问题

例3（2014年江西卷文9）过双曲线C：x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（ ）.

A.x24-y212=1B.x27-y29=1

C.x28-y28=1D.x212-y24=1

解析先求出交点坐标，再结合已知条件求出双曲线的方程.

由x=a，

y=bax，解得x=a，endprint