概率题的类型和解法

赵建勋

课本中给出了关于概率的许多公式，学生在学习中常觉得无所适从，不知用哪个公式，为解决这个问题，本文介绍概率题的类型和解法，现举例说明.

一、等可能性事件的概率

求等可能性事件的概率一般是借助排列组合的方法，分别求出公式P（A）=mn中的m、n的值.

例1在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种.根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.

（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；

（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率.

解设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件A，则P（A）=C12C26=215；即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率为215.

（Ⅱ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B，则事件B有三种可能：芳香度为1和3的情况有C13种，芳香度为2和2的情况有C22种，芳香度为3和3的情况有C23种.所以P（B）=C13+C22+C23C26=715.

即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率为715.

点评解本题的关键是求出试验中可能出现的基本事件的个数及指定事件的基本事件的个数.因此这类问题最终可以转化为排列、组合问题进行求解.

二、互斥事件有一个发生的概率

解这类问题首先要判断两个或多个事件是否互斥，只有这样才能正确使用公式进行求解，因此这类问题通常转化为计算几个互斥事件的概率，再求和.

例2某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖.（Ⅰ）求中三等奖的概率；（Ⅱ）求中奖的概率.

解设“中三等奖”为事件A，中奖为事件B，从四个小球中有放回的取两个共有4×4=16种不同的方法.（Ⅰ）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）.故P（A）=416=14；（Ⅱ）两个小球号码之和等于3的取法有4种，两个小球号码之和等于4的取法有三种：（1，3），（2，2），（3，1）；两个小球号码相加之和等于5的取法有两种：（2，3），（3，2）.

由互斥事件的加法公式得P（B）=416+316+216=916.

点评（Ⅱ）中把“中奖”这件事情拆分成几个互斥事件的和，分别进行计算，起到了化繁为简的作用.

三、相互独立事件同时发生的概率

如果两个（或多个）互相独立的事件同时发生，其概率计算可转化为几个独立事件的概率的乘积.因此问题最终也可以转化为随机事件或等可能性事件的概率计算.

例3某种家用电器的销售利润与该电器的无故障使用时间有关.每台这种家用电器若无故障使用时间不超过一年，则销售利润为0元；若无故障使用时间超过一年而不超过三年，则销售利润为100元；若无故障使用时间超过三年，则销售利润为200元.

已知每台这种家用电器无故障使用时间不超过一年的概率为15；无故障使用时间超过一年而不超过三年的概率为25.（Ⅰ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元的概率；（Ⅱ）求销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元的概率.

解（Ⅰ）根据条件得，无故障使用时间超过三年的概率为25.设销售两台这种家用电器的销售利润总和为400元为事件A，则P（A）=25×25=425.

故销售两台这种家用电器的销售利润总和