多约束条件下非连续助推弹道方案设计与优化

程仙垒，彭双春，郑 伟，汤国建

（国防科学技术大学航天科学与工程学院，湖南长沙410073）

多约束条件下非连续助推弹道方案设计与优化

程仙垒，彭双春，郑 伟，汤国建

（国防科学技术大学航天科学与工程学院，湖南长沙410073）

研究了考虑动压、过载、控制量以及终端状态等多约束条件下的非连续助推弹道方案设计与优化问题。首先，结合最优控制理论，推导了脉冲作用期间的飞行程序；然后，在综合考虑弹道约束条件的基础上，合理设计非连续助推弹道方案；最后，针对经典粒子群算法收敛速度慢、易陷入局部最优解的缺点，采取了惯性权重自适应变化及扰动策略，以适应复杂弹道优化问题。仿真算例及结果表明，设计的非连续助推弹道方案能够满足各项约束，改进的粒子群算法能有效解决多约束下非连续助推弹道优化问题，优化方案的射程比原方案提高了6．69%，比连续助推弹道提高了14．09%，优势较明显。

非连续助推弹道；弹道方案；多约束条件；粒子群算法；弹道优化

0 引 言

武器系统的发展实际上是矛与盾的交替演进过程。以美国导弹防御系统为代表的新型防空武器的出现，使得防空武器的作战能力得到了很大提高，为适应新形势下的作战需求，应该积极探索新的技术，以提高攻击性武器的作战效能。具有能量可控性的双脉冲火箭发动机，能够克服常规火箭发动机一次性点火便将燃料消耗完毕的弱点，实现飞行器弹道的最优控制和发动机推进能量的最优管理，从而改善导弹的攻击性能［1-2］。

弹道设计与优化是导弹研制过程中的关键步骤，能够为总体设计提供重要的性能参数，因而在导弹总体设计中有着很重要的地位。当前，公开文献中针对非连续助推弹道方案的研究较少，且多应用于地空导弹和空空导弹［14］，进一步开展非连续助推弹道方案的设计研究具有重要意义。另外，由于非连续助推弹道待优化参数多，且需要综合考虑过载、动压、控制量及终端状态等多项约束条件的限制，传统的优化算法已难以有效解决非连续助推弹道优化设计这类复杂弹道优化问题。粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）是一种基于群体智能的优化方法［5］，其算法简单，容易实现，既适合于科学计算，也适合于工程应用，是解决复杂优化问题的有效技术，已经在飞行器优化领域得到广泛关注［618］。

本文考虑一类通过在爬升段两次启动发动机，实现增大攻击区域的倾斜发射近程导弹。结合最优弹道方案推导，针对非连续助推弹道的特点，合理设计非连续助推弹道方案。为提高经典PSO的寻优速度和摆脱局部最优解的能力，分别引入惯性权重自适应变化及扰动策略。采取改进的PSO对非连续助推弹道开展优化设计工作，为双脉冲导弹的设计提供理论依据。

1 非连续助推弹道方案设计

1.1 最优弹道方案理论推导

导弹在爬升过程中两次启动脉冲发动机，实现射程增大的前提是弹道飞行程序的合理设计。非连续助推弹道方案设计的关键在于主动段的设计，其难点是脉冲作用期间的飞行程序设计，其余各段可以根据弹道的实际特点和约束开展设计。可以利用最优控制理论推导，为脉冲作用期间飞行程序的设计提供有益结论。图1为主动段导弹的受力图。

图1 导弹受力示意图

导弹在飞行过程中受到的力包括重力、升力、推力和阻力，可以列出导弹纵平面运动方程为

式中，x，y，vx，vy为导弹在发射坐标系内的位置及速度；m为质量；P，L和D分别为推力、升力和阻力；α，φ和θ分别为攻角、俯仰角和速度倾角；τk（k＝1，2）分别为第Ⅰ脉冲、第Ⅱ脉冲期间的秒耗量大小。对于非连续助推弹道，P和m为分段函数，可以表示为

式中，¯F1，¯F2分别为Ⅰ、Ⅱ脉冲发动机平均推力；MI，MⅡ和M0分别为Ⅰ 、Ⅱ脉冲发动机装药量和导弹起飞质量。

为使自由弹道具有足够的机动飞行能力和射程能力，选取目标函数为主动段终点速度最大，即

因此，双脉冲机动飞行导弹弹道优化问题可以表达为寻找一个程序俯仰角的最优变化规律，使得弹道在主动段终点获得最大速度。

根据最优控制原理，可得Hamilton函数为

根据规范方程，有

俯仰程序角φ为控制量，由极值条件

得

当脉冲发动机工作时，由于P≫L，且P≫D，所以可以忽略其气动力的作用，则

式（9）表明：在Ⅰ脉冲和Ⅱ脉冲工作期间，当俯仰程序角φ为常值时，导弹末端速度最大，即射程最大。

1.2 非连续助推弹道飞行程序设计

开展弹道设计工作，除应考虑一般弹道设计原则外，还需要根据弹道的飞行任务及飞行控制系统的能力，综合考虑过载、动压、控制量及终端状态等弹道约束条件，合理设计飞行程序，使得所设计的弹道在达到性能指标的同时，也满足各项弹道约束条件。本文研究的导弹采用倾斜发射方式，针对最远射程要求，对弹道分段设计。将弹道分为以下6段：Ⅰ 脉冲飞行段、过渡段、Ⅱ脉冲飞行段、调整段、滑翔段及下压段，如图2所示。

图2 非连续助推弹道分段示意图

考虑到非连续助推弹道的特点，结合导弹飞行弹道的约束要求，弹道方案具体设计过程如下：

（1）Ⅰ脉冲飞行段（0＜t≤tI）

导弹以60°～65°倾斜发射，为增大导弹射程，在I脉冲作用期间，应该使导弹稳步爬升。由前面最优控制推导可知，俯仰程序角逐渐由φ0变化到常值俯仰程序角φ1，飞行程序设计为

式中，tI为Ⅰ脉冲作用时间；k1为Ⅰ脉冲飞行段表征飞行程序变化快慢的系数。

（2）过渡段（tI＜t≤tI＋Δt1）

为避免导弹爬升过高，不满足弹道约束，特别是动压约束，应该在脉冲间隔内，适当实现弹道转弯。考虑到上升段攻角较大时，会产生较大的能量损失，从而减小导弹射程，因而，弹道转弯过程应该适当平稳，避免攻角较大情况，即俯仰程序角逐渐变化到φ2

式中，Δt1为脉冲时间间隔；k2为过渡段表征飞行程序变化快慢的系数。

（3）Ⅱ脉冲飞行段（tI＋Δt1＜t≤tI＋Δt1＋tⅡ）

为满足弹道约束，应该在Ⅱ脉冲作用期间对导弹进行调整，俯仰程序角逐渐由φ2变化到常值俯仰程序角φ3，相应地，可以设计飞行程序为

式中，tⅡ为Ⅱ脉冲作用时间；k3为Ⅱ脉冲飞行段表征飞行程序变化快慢的系数。

（4）调整段（tI＋Δt1＋tⅡ≤t≤tI＋Δt1＋tⅡ＋t′）

在Ⅱ脉冲调整的基础上，关机后应对导弹作进一步调整，直至导弹到达弹道最高点。为避免过多的能量损耗，应该选用零攻角重力飞行或者以负的小攻角进行弹道调整，飞行攻角用α1表示为

式中，t′为关机点至弹道最高点所需时间。

（5）滑翔段（tI＋Δt≤t≤tI＋Δt＋Δt2）

为增大射程，导弹在滑翔期间，应选取升阻比较大的攻角飞行，飞行攻角用α2表示为

式中，Δt2为滑翔时间，且Δt＝Δt1＋tⅡ＋t′。

（6）下压段（t≥tI＋Δt＋Δt2）

为满足弹道落角和落速要求，应该在下压段选取适当的负攻角。当负攻角选取过大时，弹道能量损失较大，对射程影响较大，而当负攻角选取过小时，下压效果不明显，使得落速难以满足要求，需要通过优化手段来综合处理这个矛盾。下压攻角用α3表示为

2 非连续助推弹道优化问题的PSO构建与改进

2.1 基本PSO

PSO是一种基于种群的迭代搜索进化算法，采取的是简单的速度－位移运动模式。根据标准PSO，粒子根据式（16）更新速度和位置。

式中，vki，j表示第i个粒子Xi的第j个变量在第k次迭代时的速度；xki，j表示第i个粒子Xi的第j个变量在第k次迭代时的位置；pbestki，j表示第i个粒子在k次迭代中搜索到的最优值的第j个变量值；gbestkj表示粒子群在过去k次迭代中搜索到的最优值的第j个变量值；w表示惯性权重；c1和c2为学习因子；r1和r2为介于［0，1］之间的均匀随机数，可以保证种群的多样性。

2.2 PSO改进

由于经典PSO应用于弹道优化问题时，存在收敛速度慢、易陷于局部最优等缺点，本文采取了改进策略以提高PSO的寻优性能。

2.2.1 惯性权重自适应变化

惯性权重w用于平衡粒子的全局搜索能力和局部搜索能力，是PSO的关键参数。为提高PSO的收敛速度和优化精度，本文采取一种惯性权重自适应调整策略［19］，即将惯性权重的变化与粒子自身适应值的变化相联系，其基本思想是当粒子适应度值的相对变化量增大时，惯性权重值也相应增加，反之则减小。

定义粒子适应值的相对变化率为

式中，fi（x，t）表示第i个粒子在第t代的适应度值。惯性权重的调整公式为

式中，wi（t）表示第i个粒子在第t代的惯性权重值。由式（18）可知，粒子的惯性权重值变化范围为（0，1），当粒子适应值的相对变化率τ为0时，wi（t）值为0.5；当粒子适应值相对增加时，wi（t）也相应增加，反之则减小。惯性权重自适应调整策略能够加快粒子向最优位置飞行的速度，从而加快PSO的收敛速度。

2.2.2 扰动策略

鉴于经典PSO存在早熟的缺点，且不存在使粒子跳出局部最优值的机制。本文在经典PSO基础上引入扰动策略［20］，其基本思想是若当前搜索到的全局最优值连续k步迭代没有更新，则重置粒子的速度。其目的在于，若粒子群寻优过程陷入局部极小值时，通过重置各粒子速度，强迫粒子群跳出局部极小值，启动新一轮的寻优过程，从而增强PSO的全局寻优能力。扰动策略可以表示为

若t－tk＞k，则重置v （19）

式中，k为设置的自然数，称为扰动因子，取为20；tk表示最近一次更新搜索到的全局最优值的迭代步。

2.3 优化设计变量

结合非连续助推弹道飞行程序设计过程，可以选定非连续助推弹道的优化变量为Θ0，Δt1，Δt2，φ1，φ2，φ3，k1，k2，k3，α1，α2，α3，即发射角、脉冲时间间隔、滑翔飞行时间、I脉冲飞行段至Ⅱ脉冲飞行段的3个终端俯仰角和飞行程序变化系数以及调整段至下压段的3个常值攻角等12个弹道参数。

2.4 约束条件的处理

弹道实现与飞行控制系统的能力是密切相关的，具体体现在飞行控制系统对攻角、过载、动压等飞行状态存在较严格的约束，弹道实现对飞行状态的需求可能无法完全满足。因而，应综合考虑飞行任务的需求和飞行控制系统的约束，开展弹道设计与优化。另外，在使用优化方法时，须已知各个约束变量与设计变量的函数关系，但是其解析形式复杂，直接寻找各优化变量与动压、过载等约束条件的函数关系比较困难，因而可以转而利用数值求解的方法得到约束与设计变量之间的关系。弹道优化时需要考虑过载、动压、控制量及终端状态等约束的具体情况为

本文中弹道优化时需要考虑的约束条件均为不等式约束，所以应考虑在不等式约束条件下的惩罚函数形式。对于不等式约束，处理为

两种形式中，前者适用于上限问题，后者适用于下限问题，gi（x）和g′i（x）均为实际值对上限或下限的差值。然后再将它们转化为与目标函数相关的惩罚量，表示为

式中，α为罚系数，一般取为相对较大的常数，或设计为根据搜索代数自适应变化；β为常数，一般取1或2；f（x，t）为目标函数。通过将不同罚函数形式的优化结果进行比较，发现罚函数设计为如式（23）的形式可以取得较好的效果。

式中，i为当前迭代次数。

2.5 基于改进PSO的非连续助推弹道优化步骤

基于前述的非连续助推弹道优化模型以及改进的PSO，即可通过迭代得到最优的优化变量组合，迭代算法基本流程如下：

步骤1 对PSO中的学习因子、粒子最大飞行速度及飞行范围、种群数、最大迭代次数等参数及飞行力学模型进行初始化赋值；

步骤2 根据式（16）更新粒子群中各个粒子的速度以及位置；

步骤3 根据每个粒子的位置可以得到相应的弹道参数，从而生成相应的飞行程序，作为控制量；

步骤4 将飞行程序代入导弹运动模型，解算得到导弹飞行弹道；

步骤5 计算各个粒子的适应度，即优化中对应的目标函数（射程），然后通过比较更新得到的各个粒子的位置，评价个体最优适应度和种群最优适应度，即可得到此时对应最大射程的最优弹道参数；

步骤6 当t－tk＝20时，采用扰动策略，重置各粒子速度；

步骤7 如果满足优化算法终止条件，则停止计算，输出最优个体及适应度，即对应为最优设计变量（弹道参数）及相应的最优射程。否则，返回步骤2，反复进行迭代，直至找到最优值，或者满足优化算法的终止条件。

3 仿真结果与分析

根据俄罗斯P-17导弹的公开数据，并进行适当改进以适合本文研究。文中采用的双脉冲发动机参数如表1所示，起飞质量为5 900 kg。粒子群种群个数取为30个，学习因子c1和c2均取为2，最大迭代次数取为100。为了比较非连续助推弹道与连续助推弹道两种弹道方案的射程能力，将脉冲间隔时间取为0的情况作为连续助推弹道方案，通过合理设置弹道参数，也使得连续助推弹道方案满足各弹道约束，从而使得连续助推弹道方案、优化方案以及未经优化的原方案均在弹道约束满足的情况下比较。由于PSO搜索存在一定的随机性，本文进行了5组优化，最终取最优值作为优化结果。表2和表3为连续助推弹道方案、原方案及优化方案下5组结果的弹道参数和性能参数的对比。为深入考察改进的PSO解决复杂约束下非连续助推弹道优化问题的情况，以第5组优化结果为例，其选取的12个优化变量的寻优收敛过程如图3所示。

表1 双脉冲发动机参数

图3 各优化变量收敛过程

表2 连续助推弹道方案、原方案和优化方案弹道参数

表3 连续助推弹道方案、原方案和优化方案性能参数

由图3可知，各优化变量基本都50代之前便开始收敛，最终达到表2中优化方案对应的优化变量值，说明本文中的改进PSO收敛速度较快，能够较快地实现各优化变量的寻优。

由表3可知，5组优化结果均满足各项弹道约束条件，但结果略有差异，证明了PSO搜索的随机性。5组优化方案的平均射程为322．31 km，未经优化的原方案的射程为302．10 km，连续助推方案下的射程为282．50 km。比较可知，优化方案的射程比原方案的射程提高了6．69%，比连续助推弹道方案的射程提高了14．09%，说明经优化后的导弹攻击区有了较大提升，并且非连续助推弹道相比连续助推弹道有较大的射程优势。综合以上分析可知，在飞行控制系统的能力允许范围内，非连续助推弹道方案能够有效提高导弹射程。另外，优化后的弹道方案有效提高了导弹的性能，说明改进的PSO能够较好地解决多约束条件下的非连续助推弹道优化问题。

4 结 论

本文在最优弹道推导的基础上，综合考虑动压、过载、控制量以及终端状态等弹道约束，设计了非连续助推弹道方案，并应用改进PSO研究了多约束条件下的非连续助推弹道优化问题。主要研究结论如下：

（1）结合最优控制理论，综合考虑多约束条件，设计的非连续助推弹道方案能够有效满足各项弹道约束，射程比连续助推弹道有较大的优势；

（2）针对经典PSO收敛速度慢、易陷入局部最优解的缺点，采取了惯性权重自适应变化及扰动策略，有力提高了PSO的寻优性能；

（3）经改进的PSO寻优过程收敛性较好，能够较快地找到最优值，有效解决了12个设计变量、6个约束的复杂非连续助推弹道优化问题。

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Discontinuous boosting trajectory project design and optimization with multi-constraints

CHENG Xian-lei，PENG Shuang-chun，ZHENG Wei，TANG Guo-jian
（College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

An optimum design method is proposed to tackle the design and optimization problem of the discontinuous boosting trajectory with multi-constraints including dynamic pressure，overload，controls，and terminal states．First，trajectory flight project during the boost phase is derived combined with the optimal control theory．Second，the reasonable discontinuous boosting trajectory project is designed in consideration of multiconstraints．Finally，the optimization algorithm is modified by adopting the adaptive inertia weight and disturbance strategy to improve the convergence rate of the classic particle swarm optimization algorithm and avoid the premature convergence problem．The results of the simulation experiment show that the designed discontinuous boosting trajectory project is reasonable with all constraints satisfied，and the improved particle swarm optimization algorithm could resolve the problem of the discontinuous boosting trajectory with multi-constraints．The range of the optimization scheme is 6．69%more than primary scheme and has a marked increase by 14．09% than the continuous boosting trajectory．

discontinuous boosting trajectory；trajectory project；multi-constraints；particle swarm optimization algorithm（PSO）；trajectory optimization

V 412．1

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．25

程仙垒（1990-），男，硕士研究生，主要研究方向为飞行器动力学与控制。E-mail：xianleicheng＠163．com

彭双春（1979-），男，博士，主要研究方向为任务规划与精确制导。E-mail：psc1212001＠yahoo．com．cn

郑 伟（1972-），男，教授，博士，主要研究方向为制导、导航与控制。E-mail：zhengwei_nudt＠163．com

汤国建（1964-），男，教授，博士，主要研究方向为飞行器动力学与控制。E-mail：gjtang＠263．net

1001-506X（2015）04-0888-07

2014- 04- 03；

2014- 09- 26；网络优先出版日期：2014- 10- 30。

网络优先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141030．0943．006．html

国家自然科学基金（61304229）；中国博士后科学基金（2013M542562）资助课题