导数案例易错题剖析

刘彬

【摘要】导数是近代数学的重要基础，是联系初、高等数学的纽带，它的引入为解决中学数学

问题提供了新的视野，是研究函数问题的有力工具，也是今后学习高等数学的基础.

本文拟对学生在学习导数中常见的错误进行归类和做简单的剖析，以便广大教师在

教学过程中有的放矢，激发学生学习数学的兴趣和提高教学质量.

【关键词】定义式;切线方程;极值;单调性

导数是近几年江苏高考命题的热点内容.导数在求函数的单调性、极值、最值以及求曲线的切线斜率等方面，有着广泛的应用，但学生在实际应用时常会陷入误区.本文从例题入手，对导数应用常见的错解进行分类剖析，以期抛砖引玉.

易错点1 对导数定义式的理解不到位

例1 函数f（x）在点x0处的导数是f′（x0）=a，则limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=.

错解 由导数的定义知：

f′（x0）=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）Δx=a.

剖析 防错的关键是认清导数定义中Δx的形式是多样的.

正解 limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）Δx=f′（x0）

=limΔx→0f（x0-Δx）-f（x0）-Δx=-a，

从而答案是-a.

点评 在导数的定义中，增量Δx的形式是多样化的，但无论如何变化，其实质是分子中x的增量与分母中x的增量必须是一致的，否则必须经过一些适当的变形使之一致.

小试牛刀 已知函数f（x）在点x0处的导数是f′（x0）=a，

则limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0-Δx）Δx=.（参考答案：2a）

易错点2 混淆导函数与函数在某点处的导数

例2 已知函数f（x）=-13x3+x2-2f′（1）x，求f′（x）.

错解 f′（x）=-x2+2x-2f′（1）.

剖析 本错误解法忽视了f′（1）是一个可以求得的定值.

正解 ∵f′（x）=-x2+2x-2f′（1），∴f′（1）=-1+2-2f′（1），∴f′（1）=13.

点评 f′（1）=y′|x=1是一个定值，故[f′（1）·x]′=f′（1）.再给导函数中的x赋值，即可求出f′（1）的值.

小试牛刀 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），

则f′（5）=.（参考答案：6）

易错点3 求曲线过某点的切线方程时不注意区分点是否在曲线上

例3 已知曲线f（x）=x3-3x，过点A（0，16）作它的切线，求此切线方程.

错解 根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率k=f′（0）=-3，所以曲线的切线方程为y=-3x+16.

剖析 本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k应是在切点处的导数，而点A（0，16）不在曲线上.故本题应先设切点，再求斜率，最后写出直线的方程.

正解 设切点坐标M（x0，x30-3x0），则切线的斜率k=f′（x0）=3x20-3，切线方程为y=（3x20-3）x-16，又因为点M在切线上，所以x30-3x0=3（x20-3）x0+16，解得x0=-2，∴切线方程为y=9x+16.

点评 一般地，应用导数的几何意义求过一点的切线，无论已知点是不是切点均可以设出切点坐标，结合方程组求解.

小试牛刀 已知函数f（x）=x3+f′23x2-x，则函数f（x）的图像在点23，f23处的切线方程是.（参考答案：27x+27y+4=0）

易错点4 忽视函数有极值时的条件

例4 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a+b的值.

错解 由导数的极值知f′（1）=0

f（1）=10得a=4

b=-11或a=-3

b=3，所以a+b的值为-7

或者0.

剖析 错解是没有注意到f′（x0）=0是函数在这点处有极值的必要不充分条件.

正解 由导数的极值知f′（1）=0

f（1）=10得a=4

b=-11或a=-3

b=3.当a=-3

b=3时，f′（x）=3（x-1）2≥0恒成立，故x=1不是函数的极值点，此解舍去，所以a+b的值是-7.

点评 函数极值点的定义是：在这点的左右两侧函数的导数符号相反，而不仅仅是f′（x0）=0，所以，由极值算参数范围或者参数值时，要注意检验导数在这点左右两侧的符号是否相反.

小试牛刀 已知函数f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）在点x=-1处取得极大值为2，求函数f（x）的解析式.（参考答案：f（x）=x3-3x）

易错点5 忽略函数单调性的充要条件

例5 已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在

R上是减函数，求a的取值范围.

错解 ∵f′（x）=3ax2+6x-1，∴f（x）在R上是减函数.

∴f′（x）<0在R上恒成立.

∴3ax2+6x-1<0对任意实数恒成立.∴Δ<0，a<0，即36+12a<0.∴a<-3.

剖析 此题中f（x）不是常值函数，故此函数f（x）在定义域上是单调递减的充要条件是对任意实数f′（x）≤0.

正解 ∵f′（x）=3ax2+6x-1，∴f（x）在R上是减函数.∴f′（x）≤0在R上恒成立.∴Δ≤0且a<0.即36+12a≤0且a<0，∴a≤-3.

点评 应用导数研究函数的单调性求参数范围时，若f（x）在区间I上不是常值函数，则函数f（x）在区间I上是增函数在区间I上，对任意的x，f′（x）≥0;f（x）在区间I上是减函数在区间I上，对任意的x，f′（x）≤0.

小试牛刀 已知函数f（x）=ln（2-x）+ax在开区间（0，1）内是增函数，则a的取值范围是.（参考答案：a≥1）

综上所述，要提高学生解题的正确率，除了要注意题中的隐含条件外，在教学中还要加深学生对基本概念的理解和对基本方法的掌握，并结合相关练习进行强化训练，以期不再“物是人非眼迷离”.