知识结构对解题过程影响的一些尝试

俞健 苏拥英

本文为广东省教育科学“十二五”规划项目——“广州市海珠实验中学学期课程统整的实践研究（2012YQJK063）”的子课题“课程统整理念下的初中几何知识结构的研究与实践”的部分研究成果

【摘要】知识点和知识结构是解题的源泉和基础，解题过程是知识结构中知识点的体现和重组，两者相辅相成.本文通过举例的方式分析和说明了不同的知识结构对具体的解题过程有着不同的影响和作用，说明我们须掌握全面和多样的知识结构，才能更好地促进解题活动.

【关键词】知识结构;解题

在《中学数学解题的理论与实践》一书论及平面结构原则时，提到在解题思路的探求时，要注意内容与方法的统一，在解题过程中，不仅要注意方法技巧的应用，而且要揭示数学内容的转化，注意从内容的联系上去寻找解题思路.

同时，提到如下的一道例题：

已知：a1-b2+b1-a2=1，求证：a2+b2=1.

该题有平方法、配方法、三角法和几何法等多种解法，但是“切点重合”法却能够独辟蹊径，由“两点重合”的知识链，立即解决问题，体现了不同的知识结构对解题的指导和影响.

数学知识不是孤立的单点或离散的片段，数学方法也不是个别无关的一招一式，它们血肉相连，组成一条一条的知识链，并组合为知识体系，并形成一定的知识结构.

其实，知识结构有多种定义.它既可以指某个人的，即指一个人经过专门学习培训后所拥有的知识体系的构成情况与结合方式.它也可以指某学科教材的，就是由某些知识点组合成的知识集合及方式，它具有一定的结构或框架，可以由知识点、知识链或知识组等组合而成的，上题所论及的知识结构应该指的是后者.知识结构可以是串联，也可为并联，可以是环形，也可以是树形，多种多样，这是由具体的知识点和人为分析和组合而成的.同样的知识点，可以根据人们不同的理解被组合成不同的知识结构.采取不同的知识结构来解题可能会对具体的解题活动有着不一样的影响.

下面接着如上的思路，就知识结构对具体的解题过程的影响和作用进行一些尝试.

例1 如图1，设M和N分别是△ABC两边AB和AC的中点，证明：MN∥BC，且MN=BC2.

图 1

我们的一般解法为：

证明 由题意知，由于M和N分别是△ABC两边AB和AC的中点，

得AM=12AB，AN=12AC，∠A=∠A，

所以△AMN∽△ABC.

可得：∠AMN=∠B.

由同位角相等，两直线平行得MN∥BC.

再由相似比为12，得到MN=BC2.

分析 该证法运用了相似三角形的判定定理，再由相似三角形的性质和“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”这两个知识点，证得此题.

我们也可尝试使用其他证法：

证明 由于M和N分别是△ABC两边AB和AC的中点，故得S△MBC=S△ABC2=S△NBC.

由平行线的面积判定法得MN∥BC.

再由平行边可构成相似三角形得到△AMN∽△ABC.

应用相似三角形对应边成比例的性质得

MNBC=AMAB=12，故推出MN=BC2.

分析 本证法中运用了平行线的面积判定法直接得到结论之一，再由平行边构成相似三角形的知识，得出两个三角形相似，进而得到另一结论.本解法绕开了相似三角形的判定定理的知识链，采用了不同的知识结构，同样可以证得本题.

例2 如图2，AB∥PQ，直线PA和QB交于R，PB和QA交于S，PS和PQ交于M.若已知PQ=10，求PM.

图 2

本题的常规解法为：

设PM为x，NB为y，则MQ为10-x.

根据AB∥PQ，可得△RNB∽△RMQ及△RAN∽△RPM，

进而得NBMQ=RNRM=ANPM，

可得AN=xy10-x.

再由△NBS∽△MPS及△NAS∽△MQS，

得ANQM=NSMS=NBMP.

即xy10-x10-x=yx，得x2=（10-x）2，可算得x=5.

分析 本解法假设了相应线段的未知量，并在图中找寻了四组相似三角形，再通过这些相似三角形边之间的比例关系，逐步过渡，求得PM的长度.

若运用另外的知识结构和工具也可以解决本题.

解 运用共边定理以及由AB∥PQ得到S△PAB=S△QAB，可得

PMMQ=S△PRSS△QRS=S△PRSS△PSQ·S△PSQS△QRS

=RBBQ·PAAR=S△RABS△QAB·S△PABS△RAB

=1.

所以PM=MQ=PQ2=5.

分析 这里运用“共边定理”的知识链条，通过多组三角形间面积相等的关系，转化得到结果，展示了不同知识作为解题工具的魅力.

别以为这题简单，它还曾是一道数学竞赛问题.

例3 如图3，设圆内两弦AB和CD交于P，求证：PA·PB=PC·PD.

图 3

我们一般的常规证法是：由对顶角相等及相同的弧所对的圆周角相等可知

∠BPC=∠DPC，∠CBP=∠ADP，∠PCB=∠PAD.

可得△PBC∽△PDA，

即得PBPD=PCPA，可得结论.

分析 本题证明方法使用了对顶角相等、等弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理等知识证得.

我们还可以使用共角定理来证明：

S△APDS△CPB=PA·ADPC·CB=PD·ADPB·CB，

约简后即得PAPC=PDPB，

即PA·PB=PC·PD.

分析 本方法使用“共角三角形”知识的方法，不仅减少建立相似三角形判定法的推理过程和步骤，而且避免了辨别相似三角形对应边的麻烦，所以，相对而言，本解法更为简捷和高效.

知识点和知识结构是解题的源泉和基础，解题过程是知识结构中知识点的体现和重组，两者相辅相成.我们要做到解题过程的严谨和优美，应具备全面和多样的知识结构，来促进和活跃解题思想，当然这也需要在解题过程中不断地总结和积累知识点，完善知识结构.

【参考文献】

[1]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[2]张景中.一线串通的初等数学[M].北京：科学出版社，2009.