一道高考解析几何题的引申

蔡志永

【摘要】学生对试题进行适度的引申和推广，将有利于培养学生的归纳推理和类比推理的能力，有利于提高学生自主探究问题和创造性地解决问题的能力.充分挖掘和拓展高考试题的教育功能，体现和展示高考试题的教学价值.

【关键词】高考;几何体;引申

2013年北京高考理科数学第19题如下：

已知点A，B，C是椭圆W：x24+y2=1上的三个点，O是坐标原点.

（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.

（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

本文将菱形OABC一般化为平行四边形，给出引申如下：

定理 已知点A，B，C是椭圆W：x2a2+y2b2=1上三个点，O为坐标原点.若四边形OABC为平行四边形，

（1）当直线AC不垂直于x轴时，记直线AC：y=kx+m（m≠0），则有4m2=a2k2+b2，且OABC的面积是定值为32ab.

（2）当直线AC⊥x轴时，则点B为椭圆在x轴上的顶点，且平行四边形OABC为菱形.

定理的证明 （1）当四边形OABC为平行四边形时，

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由OB=OA+OC，得x2=x1+x3，

y2=y1+y3.

联立y=kx+m，

x2a2+y2b2=1得

（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

由Δ>0，得

a2k2+b2-m2>0.（*）

此时，x1+x3=-2a2kma2k2+b2，y1+y3=2b2ma2k2+b2.

则x2=x1+x3=-2a2kma2k2+b2，y2=y1+y3=2b2ma2k2+b2.

又点B（x2，y2）在椭圆W上，则

-2a2kma2k2+b22a2+2b2ma2k2+b22b2=1.

整理得

4m2（a2k2+b2）=（a2k2+b2）2.

由a2k2+b2≠0，得4m2=a2k2+b2.

代入（*）式检验，满足条件.

所以，当四边形OABC为平行四边形时，有

4m2=a2k2+b2.

此时，OABC的面积S1和三角形OAC的面积S2之间满足S1=2S2.

设O到直线AC的距离为h，则h=|m|k2+1.又，

|AC|=（x1-x3）2+（y1-y3）2=3a2b2（k2+1）4m2=32abk2+1|m|.

所以S1=2S2=2×12·|AC|·h=32abk2+1|m|·|m|k2+1=32ab.

即OABC的面积是定值为32ab.

（2）当直线AC⊥x轴时，

设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），不妨设点A在x轴上方.

由OB=OA+OC，得x2=x1+x1=2x1，

y2=y1-y1=0.

将B（x2，y2）代入椭圆W的方程，得（2x1）2a2+0b2=1.

则x1=±a2，B的坐标为（a，0）或（-a，0）.

即直线AC的方程为x=±a2，且此时点B为椭圆W的顶点.

由图形的对称性，不妨取x=a2.

此时，Aa2，32b，B（a，0），Ca2，-32b，OA=a2，32b，AB=a2，-32b.

因为OA=a24+34b2=AB，所以，OABC为菱形.