三种策略破解二元函数难题

张勇

【摘要】函数是高中数学的核心内容，贯穿了整个高中课程，同时还是学习高等数学的基础.所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位.

【关键词】策略;二元函数;破解

其试题不但形式多样，而且近年来更注重了在知识的交汇处命题，综合性强，能力要求高，是高考中考查数学思想方法，考查能力素质的主阵地.因此，多数省份在命题时均将函数作为最后的压轴题.其中，尽管二元（多元）函数在高中教材中没有明确出现，但以其为背景的题目正频繁地出现在高考和各级各类调研考试题中，如2013年陕西卷、2012年湖南卷、2010年天津卷、2010年湖南卷、2013年成都市一诊、2013年湖北八校联考试题，等.该类题目的基本特征是在问题中涉及多个（一般为2个）变量，以求参数取值范围或证明不等式的形式出现，背景新颖，对学生推理论证、创新能力有较高要求，难度较大.笔者总结了处理该类问题的三种常用策略，梳理如下.

策略一 取定主元：暂时将另一变量视为常数

例1 （2013年陕西卷）已知函数f（x）=ex，x∈R.

（1）（2）略;

（3）设a

分析 该题的主要难点在于a，b均在变化，本质上即为二元函数问题.但若将a，b

均作为自变量，不符合高中学生的认知规律.因此，可将a视为常数，将b视为主元.

作差：f（a）+f（x）2-f（x）-f（a）x-a=ea+ex2-ex-eax-a

=（x-a）（ea+ex）-2（ex-ea）2（x-a），x∈（a，+∞）.

令g（x）=（x-a）（ea+ex）-2（ex-ea），x∈（a，+∞），

则g′（x）=（x-a）ex+ea-ex.

再令h（x）=（x-a）ex+ea-ex，x∈（a，+∞），

有h′（x）=（x-a）ex>0，因此h（x）在区间（a，+∞）上单调递增.

又h（a）=0，故h（x）>0，即g′（x）>0，故g（x）在区间（a，+∞）上单调递增.

又g（a）=0，所以当x>a时，g（x）>0，即f（a）+f（x）2>f（x）-f（a）x-a.

即f（a）+f（b）2>f（b）-f（a）b-a.

策略二 构造新变量

例2 同例1.

解析 我们知道，利用基本不等式x+y2≥xy求最值是一类常见的问题，这本质上仍是多元函数问题.而我们处理该类问题一般是通过代数变形，利用整体构造的方式：若x+y为常数，则得到xy的最大值;若xy为常数，则得到x+y的最小值.从中得到启发，我们有如下的解法：

作差：f（a）+f（b）2-f（b）-f（a）a-a=ea+eb2-eb-eab-a

=（b-a）（ea+eb）-2（eb-ea）2（b-a）

=ea[（b-a）（1+eb-a）-2（eb-a-1）]2（b-a）.

设函数m（x）=x（1+ex）-2（ex-1），x>0，

则m′（x）=xex+1-ex，设u（x）=xex+1-ex，x>0，

则u′（x）=xex>0，∴u（x）单调递增.又u（0）=0，

故x>0时，u（x）>0，即m′（x）>0，即m（x）单调递增.

从而x>0时，m（x）>m（0）=0，

即f（a）+f（b）2>f（b）-f（a）b-a.

策略三 构造新函数

例3 （2010年辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）设a<-1，若对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2| ，求a的取值范围.

解析 （1）略.

（2）由（1）知当a<-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减.

该问题的难点在于x1，x2是两个独立变化的量，无内在联系，因此将其中任何一个视为常数均不好处理;同时要构造一个与x1，x2均有关的量也无法完成，需另辟蹊径.

首先考虑去掉绝对值符合，这结合函数的单调性可以解决.

不妨设x2>x1，则f（x2）

此时按照变量分离的思想我们可以将x1，x2各置一方：f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2.

因此，我们可以构造一个新函数：g（x）=f（x）+4x，则问题等价于函数g（x）在（0，+∞）上单调递减即可，这是我们非常熟悉的一类问题，已经不难解决.

g′（x）=a+1x+2ax+4，

令g′（x）≤0，可得a≤-4x-12x2+1=（2x-1）2-4x2-22x2+1=（2x-1）22x2+1-2.

故a的取值范围是（-∞，-2].

点评 在该问题中，将f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1变形为f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2是最关键的一步，这实际上是分离变量思想的一个应用，通过将x1，x2各置一方，提炼出共同的结构，为我们构造新函数解决问题铺平了道路.

回顾上述方法，我们可以发现，处理二元函数问题的核心思想是“减元”，即将二元化为一元，只是转化方式各有不同，正所谓“条条大道通罗马”，只要我们抓住核心思想，以不变应万变，解决这样的压轴难题也并不困难.