数学思维中的哲学

刘翔

【摘要】自然辩证法作为哲学的重要组成部分，研究和揭示了自然界存在和演化的一般规律，自然界属于客体地位，是人类所要认识和改造的对象，而数学属于自然科学基础学科，是自然科学的一部分，数学源自于自然界，研究自然界的存在与发展的一般规律，进而抽象出其形式，建构数学体系.所以了解数学与自然辩证法之前的关系，可以提升数学思维，也能加强学科之间的联系，对研究自然界发展规律提供更好的思维空间.

【关键词】数学;自然辩证法;数学思维

一、数学与哲学的联系

自然辩证法作为马克思主义哲学的重要组成部分，它是马克思主义关于自然界和科学技术发展的一般规律以及我们人类来认识自然和改造自然的一般方法的理论.自然辩证法所研究的对象之一就是我们的自然界，自然辩证法研究和解释了自然界存在和演化的一般规律，可以简单地称之为自然界的辩证法.而数学这门自然科学就源自于自然界，是依据自然辩证法所揭示的自然界存在的客观规律而发展起来的，数学的发展伴随着哲学的不断进步，数学与哲学之间相互渗透，相辅相成，历史上很多古希腊的哲学家就是为了解释一些哲学问题而去研究数学，也有很多数学家为了研究数学问题最后投向了哲学的怀抱，比如，亚里士多德、毕达哥拉斯和欧几里得等等，同时是伟大的数学家也是著名的哲学家，从毕达哥拉斯的自然哲学、机械决定论到逻辑实证主义都表明，数学在很多方面上不同程度地影响了许多哲学的思想方法和内容，而同时，哲学的不断发展也为数学学科的发展提供了更为广阔的思维空间与思维方式.

古希腊哲学中认为，万物的本原就是数，所有的事物都可以用数来表示，无限是偶数，把偶数拿来用奇数限定，就会赋予现实事物以无限性.万物都是成双的，任何对偶的事物都可以用来平分，平分出来的两部分可以无限地进行下去，因为这样的二分法可以无限进行，但是如果增加到奇数，平分就有限了，就会使无限的二分终结，可见，进入哲学殿堂的阶梯就是数学方法，也是认识理想世界的准备工具.最早的毕达哥拉斯学派研究数学的目的其实是为了解释宇宙生成这一哲学问题，从数学研究中去发现结论，认为所有的对象事物都能有整数来构成，而数就是构成我们宇宙的要素，随着对数的研究，历史上非常著名的“毕达哥拉斯定理”也就是我们所称的“勾股定理”就这样自然而然地产生了.所以说，哲学的发展离不开数学的进步，数学的发展也离不开对人类哲学的追求.

二、哲学中的两个悖论与自然辩证法

（一）二分法：你不能在有限的时间内越过无穷的点

在你穿越一定的距离的全部之前，我们首先必须穿过这个距离的一半，这样的话距离的一半还会有一半，这样下去会陷于无止境，在任何的一定的空间中都有无穷多个点，你穿越一个点需要一个时间，哪怕这个时间非常小，但是无穷多个点你需要穿过，所以你根本不可能在有限的时间中一个一个地接触无穷个点，因此，你也就不可能穿越这一定的距离.

二分法

（二）阿喀琉斯：阿喀琉斯永远追不上乌龟

乌龟在阿喀琉斯前面，阿喀琉斯要追上乌龟，他首先必须到达乌龟出发的地点，而这时候乌龟会向前走了一段路，虽然这段路可能很短，但是你不能否认这段路存在，于是阿喀琉斯又必须赶上这很小的一段路，而在阿喀琉斯追这一小段路的时间里乌龟又会向前走了一段路，这段路会更短，但是无论多短，这路毕竟都是存在的，所以这样思考下去，他总是愈追愈近，但是始终当然追上前一个很小的一段路的时候，乌龟又向前走了一段，始终追不上乌龟.

（三）自然辩证法对悖论的解释

上面两个就是著名的芝诺悖论，很明显这些与事实是不符合的，在实际生活中，第一，我们不可能永远穿不过一定的距离;第二，人肯定是可以追上乌龟的.但是当时在哲学界这两个悖论引起来很大的风波，这两个看起来明显错误的哲学思想，当时没有人能从哲学的角度出发去合理解释下这两个悖论，而自然辩证法的出现，很好地解释了这两个悖论，代表人物就是黑格尔，他从哲学的角度出发，利用自然辩证法很轻松地解释了芝诺悖论.

他的观点认为芝诺看到了运动是同时间和空间分不开的，必须用时间和空间才能说明运动.芝诺论证的关键在于他认为物体无法经过无穷多个点或区间而在连续时空中完成运动，但是他的根据呢？仔细检查后你会发现，没有！难道这是一条十分明显的、不需要进一步说明的公理吗？也就是说芝诺论证的时候默认为物体无法经过无穷多个点或区间而在连续时空中完成运动而没有任何根据来误导我们的思维.

首先，我们必须弄清“完成”的含义.所谓“完成”是指过程的发生只需要有限的时间，它本质上是以时间概念为

基础的.于是，问题成为：物体是否能够在有限时间内经过空间中的无穷多个点或区间？根据时间和空间的连续性假设，有限的空间含有无穷多个点或区间，而有限的时间同样含有无穷多个时刻或时间区间，并且它们可以形成一个一一对应关系.因此，原则上物体可以利用有限时间内的无穷多个时刻或时间区间来通过有限空间中的无穷多个点或区间，从而物体便可以自然地在有限时间内经过空间中的无穷多个点或区间了.于是，物体是可以（在连续时空中）经过无穷多个点或区间而完成运动的.芝诺所依据的似乎明显正确的看法其实是错误的，他在强调空间连续性的同时却忽略了时间的连续性.

三、数学思维上的自然辩证法

数学思维中有一个非常经典案例，如果当x→0时我们称x为无穷小量，简称无穷小，记为“0”，同时我们称1x为无穷大，记为“∞”，按照我们所学过的知识，零跟任何数的乘积应该都等于零，所以无穷小乘上无穷大，也就是x·1x=0·∞=0，但是很明显x·1x=1.基于以上的说法，就自相矛盾，那么无穷小跟无穷大是不是真正出了问题呢？很显然不是，我们注意零跟任何数的乘积应该都等于零，必须要满足零跟任何数，而我们的“∞”其实根本就没有说过它是一个数，它其实只是一个趋势而已，根本不代表一个数，既然它连是一个数的资格都没有，那我们在计算的时候根本不能按照“零跟任何数的乘积应该都等于零”的这个规则来进行计算，也就很清楚地解释了无穷大与无穷小的乘积的问题.同时也告诉我们很多时候在数学思考的时候要注意环境，也要结合自然界的实际情况进行分析，而不是一味地去按照以往的标准来参考，要利用自然辩证的方法去认识自然界的规律，去检验我们的数学思维的科学性，从而使我们的数学真正圆满，时时刻刻用哲学来检验，不走上悖论的道路.

历史证明，数学越向前发展，数学探索的难度就越大，就愈需要更为强大的哲学武器来检验.在数学研究中，人们受社会的影响而存在唯心史观，不自觉地就存在唯物主义倾向，所以我们必须要借助强大的哲学武器，努力把自然辩证这个高度科学的世界观与方法论应用到自己的数学研究中去，不断利用哲学武器强化我们的数学思维，勇于实践，善于探索，真正从自然界的发展规律中抽象出数学概念，从而正确地去认识和改造自然界.

【参考文献】

[1]黄顺基，陈其荣，曾国屏.自然辩证法概论[M].高等教育出版社，2004.

[2]赵兴太.自然辩证法原理[M].郑州：河南人民出版社，1999.

[3]马佰莲，曾国屏.自然辩证法应重视科学实践方法论[J].自然辩证法研究，2008（5）.

[4]李超，乔希民，王念良.国家最高科技奖获得者对数学教育的启示[J].数学教育学报，2011（4）.

[5]尹波.高职数学教学中的哲学思想[J].山东行政学院学报，2012（6）.