圆的考点综述

刘坚 肖明春

一、考查圆的性质

在高考中对圆的性质考查主要体现在：（1）对称性;（2）几何性，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”等等.

例1  （1）过点[A（11，2）]作圆[x2+y2+2x-4y-164=0]的弦，其中弦长为整数的共（   ）

A. 16条 B. 17条

C. 32条 D. 34条

（2）已知圆的方程为[x2+y2-6x-8y=0]，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别是[AC]和[BD]，则四边形[ABCD]的面积是       .

解析  （1）过点（11，2）最短弦长为10，最长弦长为26，分别只有一条，

其它为整数的弦长还有11，12，…，25的各2条，

所以共有弦长为整数2+2×15=32条，故选C.

（2）由（1）知，最长弦长为10，最短弦长为[46]，

故四边形[ABCD]的面积为[S=12×10×46=206.]

点拨  （1）由圆的对称性介于最短弦和最长弦的弦各有两条，不可忽视.（2）过圆内的点最长的弦是直径，最短弦是过此点与直径垂直的弦，解题时应充分利用圆的几何性.

二、考查圆的位置关系

位置关系主要包含：（1）点与圆的位置关系;（2）直线与圆的位置关系;（3）圆与圆锥曲线（包括圆）的位置关系，而解决方法常有方程法、平面几何法、向量法等.

例2  （1）若直线[ax+by=1]与圆[x2+y2=1]相交，则[P（a，b）]與圆[x2+y2=1]的关系为（   ）

A. 在圆上   B. 在圆外

C. 在圆内   D. 以上都有可能

（2）已知直线[ax+y-2=0]与圆心为[C]的圆[（x-1）2+（y-a）2=4]相交于[A]，[B]两点，且[△ABC]为等边三角形，则实数[a]的值为         .

（3）与圆[C1：x2+y2+2x-6y-26=0]，[C2：x2+y2-4x][+2y+4=0]都相切的直线有（   ）

A. 1条   B. 2条

C. 3条   D. 4条

解析  （1）[∵直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交]，

[∴1a2+b2<1，即a2+b2>1，故选]B.

（2）[C（1，a）]到直线[ax+y-2=0]的距离[d=|2a-2|a2+1].

[因为△ABC为等边三角形，]

[所以|AB|=|BC|.]

[所以（|2a-2|a2+1）2+1=22.]

[解得a=4±15.]

（3）把已知圆化为标准形式，可判断两圆相内切，它们只有一条公切线，故选A.

点拨  （1）点与圆的位置判断，还可渗透向量法，如：点[O]在以[AB]为直径的圆上，圆内，圆外[?OA·OB=0，OA·OB<0，OA·OB>0].（2）直线和圆的位置关系，主要采用几何法. 计算弦长时，要利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形.（3）研究两圆的位置关系，要灵活运用平面几何法、坐标法，从而去确定两圆的公切线的条数.

三、圆的切线及切线长

涉及圆的切线，过圆[x2+y2+Dx+Ey+F=0]外一点[M（x0，y0）]引圆的切线，[T]为切点，切线长公式[|MT|=x02+y02+Dx0+Ey0+F].

已知[⊙O1：x2+y2=r2，⊙O2：（x-a）2+（y-b）2=r2]，若点[M（x0，y0）]在圆上，则过点[M]的切线方程分别为[x0x+y0y=r2，][（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2，]这与点[M]在圆外引圆的两条切线，则切点弦所在的直线方程是一样的，掌握这些结论对解题是有帮助的.

四、与圆有关的轨迹问题

例3  （1）已知圆[M：（x+1）2+y2=1];圆[N：（x-1）2][+y2][=9]，动圆[P]与圆[M]外切并与圆[N]内切，圆心[P]的轨迹为曲线[C]，求曲线[C]的方程.

（2）由动点[P]向圆[x2+y2=1]引两条切线[PA]，[PB]切点分别为[A，B]，且[∠APB=60°]，则动点[P]的轨迹方程为（   ）

A. [x2+y2=4] B. [x2+y2=3]

C. [x2+y2=2] D. [x2+y2=1]

解析  （1）由已知得圆[M]的圆心为[M（-1，0）]，半径[r1=1]，圆[N]的圆心为[N（1，0）]，半径[r2=3].

设动圆[P]的圆心为[P（x，y）]，半径为[R.]

∵圆[P]与圆[M]外切且与圆[N]内切，

∴[|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由椭圆的定义可知，曲线[C]是以[M，N]为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为[3]的椭圆（左顶点除外），其方程为[x24+y23=1（x≠-2）.]

（2）由题设，在直角[△POA]（[O]为原点）中，[|OP|]为圆半径[|OA|]的2倍，即[|OP|=2]，

所以点[P]的轨迹方程为[x2+y2=4].

点拨  轨迹问题是高考命题的热点问题，如平面上与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，平面上与两定点的距离之比等于常数[λ]的点的轨迹.这些常见轨迹要熟记，同时特别关注圆与圆锥曲线相结合，考查圆锥曲线定义的轨迹问题.

五、与圆有关的最值问题

与圆上点[（x，y）]有关代数式的最值问题的常见题型及解法：

（1）形如[μ=y-bx-a]，本质是直线的斜率的最值问题;

（2）形如[t=ax+by]，转化为动直线截距的最值问题;

（3）形如[（x-a）2+（y-b）2]，转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

例4已知点[（x，y）]在圆[（x-2）2+（y-3）2=1]上，求：

（1）[x+y]的最大值和最小值;

（2）[yx]的最大值和最小值;

（3）[x2+y2+2x-4y+5]的最大值与最小值.

解析  （1）[（x+y）max=2-1]，[（x+y）min=-2-1]

（2）[yx]的最大值为[-2+233]，最小值为[-2-233]

（3）[x2+y2+2x-4y+5]的最大值为[34+1]，最小值为[34-1].