新课程背景下涉及概率的十一个交汇问题归类分析

郑一平

概率是现代应用数学的重要分支，是高中新课程数学新增知识之一，它既与高中相关学科知识间联系密切，又是中数与高数的衔接点，因此成为近年高考考查的重点.高考复习中应充分利用概率知识的交汇性，充分挖掘相关学科背景下的概率问题，沟通知识间的内在联系，培养学生综合素质，提高应用知识综合分析问题和解决问题的能力.下面归纳新课程知识交汇背景下的十一类概率问题并通过典型实例进行分析点评，供复习时参考.

1.概率与函数知识交汇

例1某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率.

分析与略解（Ⅰ）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6.

客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.

P（ξ=3）=P（A1·A2·A3）+P（A

1·A2·A3）= P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A2）P（A3）=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P（ξ=1）=1-0.24=0.76.

所以ξ的分布列为

ξ13

P0.760.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一因为f（x）=（x-32ξ）2+1-94ξ2，所以函数f（x）=x2-3ξx+1在区间[32ξ，+∞）上单调递增，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，当且仅当32ξ≤2，即ξ≤43.

可根据情况，将其中的一个平面以某直线为转轴旋转适当的角度，使两个平面重合.

例13设三棱锥V-ABC中，∠AVB =∠BVC =∠CVA=90°，求证△ABC是锐角三角形.

图15

解析利用旋转变换将Rt△VAB绕AB转至平面ABC内，如图15所示.做VD⊥AB于D，连结CD，根据三垂线定理，得CD⊥AB.

在Rt△VCD中，∵CD > VD，在CD上截取DE=DV，则△ABE≌△ABV（相当于将△AVB绕AB转至平面ABC内得到△AEB），

∴∠AEB =∠AVB=90°.

∵E在CD线段内，∠ACB<∠AEB=90°，即∠ACB是锐角.

同理可证∠CAB、∠CBA也为锐角，∴△ABC是锐角三角形.

十一、向量

对于立体几何中的线、面、角度，赋予向量的解释，利用向量运算的先进技术优势，可获得新颖独特，而富有创造性的妙解.

例14同例3.

解析设OA、OB、OC、OD两两夹角为θ，模为R，由正四面体的对称性可知：OA+OB+OC+OD=0，因而OA·（OA+OB+OC+OD）=0，即R2+3R2cosθ=0，得cosθ=-13.

又AO+OB=AB（OB-OA）2=（AB）2OB2+OA2-2OB·OA=2R2+R2-2R2×（-13）=2R2=34S球=4πR2=3π.应选A.

（收稿日期：2014-02-12）

从而P（A）=P（ξ≤43）=P（ξ=1）=0.76.

解法二ξ的可能取值为1，3.

当ξ=1时，函数f（x）=x2-3x+1在区间[2，+∞）上单调递增，

当ξ=3时，函数f（x）=x2-9x+1在区间[2，+∞）上不单调递增.所以P（A）=P（ξ=1）=0.76.

评析本题可以通过建立函数关系，转化成二次函数问题，利用二次函数求最值的方法达到求解目的.

2.概率与方程知识交汇

例2已知关于x的一元二次方程x2-2（a-2）x-b2+16=0.

（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；

（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率.

分析与略解（1）基本事件（a，b）共有36个，

方程有正根等价于a-2>0，16-b2>0，Δ≥0，即a>2，-4

设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为（6，1），（6，2），（6，3），（5，3）共4个，

故所求的概率为P（A）=436=19；

（2）试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16.

设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为

B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）2+b2<16}，

其面积为S（B）=14×π×42=4π，故所求的概率为P（B）=4π16=π4.

评析本题通过利用方程思想结合几何概型知识进行思考，并通过计算达到解决问题目的.

3.概率与不等式知识交汇

例3设S是不等式x2-x-6≤0的解集，整数m，n∈S.（1）记使得“m+n=0成立的有序数组（m，n）”为事件A，试列举A包含的基本事件.（2）记ξ=m2，求ξ的分布列及其数学期望E（ξ）.

分析与略解（1）由x2-x-6≤0得-2≤x≤3，即S={x|-2≤x≤3}，

由于整数m，n∈S且m+n=0，所以A包含的基本事件为（-2，2），（2，-2），（-1，1），（1，-1），（0，0）.

（2）由于m的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，所以ξ=m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有P（ξ=0）=16，P（ξ=1）=26=13，P（ξ=4）=26=13，P（ξ=9）=16，故ξ的分布列为

ξ0149

P16131316

所以E（ξ）=0×16+1×13+4×13+9×16=196.

4.概率与数列知识交汇

例4有人玩掷硬币走跳跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是12.棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…第100站. 一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次. 若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束. 设棋子跳到第n站的概率为Pn.（1）求P0，P1，P2的值；（2）求证：Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2），其中n∈N，2≤n≤99；（3）求P99及P100的值.

分析与略解（1）棋子开始在第0站为必然事件，∴P0=1，第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为12，∴P1=12，棋子跳到第二站应从如下两方面考虑：①第一、二次掷硬币都出现正面，其概率为14；②第一次掷硬币出现反面，其概率为12.∴P2=14+12=34.

（2）棋子跳到第n（2≤n≤99）站的情况有下列两种，而且也只有两种：①棋子先到第n-2站，又掷出反面，其概率为12Pn-2；②棋子先到第n-1站，又掷出正面，其概率为12Pn-1.∴Pn=12Pn-2+12Pn-1，∴Pn-Pn-1=-12（Pn-1-Pn-2）.

（3）由（2）知，当2≤n≤99时，数列{Pn-Pn-1}是首项为P1-P0=-12，公比为-12的等比数列. ∴P1-1=-12，P2-P1=（-12）2，P3-P2=（-12）3，…，Pn-Pn-1=（-12）n.

以上各式相加，得Pn-1=（-12）+（-12）2+…+（-12）n，

∴Pn=1+（-12）+（-12）2+…+（-12）n=23[1-（-12）n+1]，（n=0，1，2，…，99）.

∴P99=23[1-（12）100]，P100=12P98=12·23[1-（-12）99]=13[1+（12）99].

评析本题形式新颖，巧妙地把概率与数列进行交汇，解决的关键是把实际问题转化为数列问题，利用数列知识解决递推数列之间关系，从而达到问题的解决.

5.概率与向量知识交汇

图1

例5 （2013年高考江西卷（文））小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图1）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋.

（1）写出数量积X的所有可能取值；

（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

分析与略解（1） X的所有可能取值为-2 ，-1，0， 1.

（2）数量积为-2的只有

OA2·OA5一种.

数量积为-1的有OA1·OA5，

OA1·OA6，

OA2·OA4，

OA2·OA6，

OA3·OA4，

OA3·OA5六种，

数量积为0的有

OA1·OA3，

OA1·OA4，

OA3·OA6，

OA4·OA6四种，

数量积为1的有OA1·OA2，

OA2·OA3，

OA4·OA5，

OA5·OA6四种，

故所有可能的情况共有15种.

所以小波去下棋的概率为p1=715.

因为去唱歌的概率为p2=415，所以小波不去唱歌的概率p=1-p2=1-415=1115.

评析本题（1）关键是对向量知识的理解，（2）关键是在（1）的基础上要注意到满足条件的可能结果，利用分类推理获得递推关系.

6.概率与立几知识交汇

图2

例6如图2，四棱锥P-ABCD中，PA=AB=AD=1.

（Ⅰ）请你在下面四个选项中选择2个作为条件，使得能推出平面PCD⊥平面PAD，并证明.

①PB=PD=2； ②四边形ABCD是正方形；

③PA⊥平面ABCD； ④平面PAB⊥平面ABCD.

（Ⅱ）在（Ⅰ）选择的条件下，在四棱锥P-ABCD的表面

上任取一个点，求这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率.

分析与略解（Ⅰ）选择①②作为条件.

证明如下：∵PA=AD=1，PD=2， ∴PD2=PA2+AD2.

∴∠PAD=90°，即PA⊥AD.同理，可证PA⊥AB， ∴PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∴ CD⊥平面PAD.

又CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， PA⊥AB，PA⊥AD，

∵CD⊥平面PAD ∴CD⊥PD，同理有BC⊥PB.

S△PAB=S△PAD=12×PA×AD=12×1×1=12，S△PCB=S△PCD=12×PD×CD=12×2×1=22，SABCD=AB2=1.

∴在四棱锥P-ABCD的表面上任取一个点，这个点在四棱锥P-ABCD侧面内的概率是S△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCDS△PAB+S△PAD+S△PCB+S△PCD+SABCD=1+22+2=22.

（注：选择②③也是正确的，其余选择都是错误的.）

点评（Ⅰ）是一道开放式判断推理题，通过分析选择条件并进行推理证明达到目的.（Ⅱ）则把立几与概率相结合，考查几何概型问题.只要分别计算出它们的面积即可求得满足条件的概率.

7.概率与物理知识交汇

图3

例7如图3，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关JA、JB、JC，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内开关JA、JB、JC能够闭合的概率分别是45、35、25，

计算：（1）在这段时间内恰好3个开关都闭合的概率；

（2）在这段时间内线路正常工作的概率.

分析与略解（1）P=45×35×25=24125； （2）P=1-（1-45）×（1-35）×（1-25）=119125.

评析本题关键要掌握物理相关知识，考虑电路通与不通的条件进行解题.

8.概率与体育比赛问题交汇

例8在世界杯排球赛中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局中赢的概率为35，已知比赛中，俄罗斯女排先胜了第一局，求：（1）中国女排在这种情况下取胜的概率；（2）求本场比赛只打四局就结束的概率.（均用分数作答）

分析与略解（1）中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为（35）3+C23·（35）2×25×35=297625.

（2）C12·（25）2×35+（35）3=51125.

评析本题涉及概率应用问题，特别是体育比赛中经常遇到类似问题，因此必须让学生能熟练应用所学概率知识灵活解决这类问题.

9.概率与实际问题交汇

例9根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

降水量X X<300300≤X<700700≤X<900X≥900

工期延误天数 02610

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：

（Ⅰ）工期延误天数Y的均值与方差；

（Ⅱ）在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率.

分析与略解（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：P（X<300）=0.3，P（300≤X<700）=P（X<700）-P（X<300）=0.7-0.3=0.4，

P（700≤X<900）=P（X<900）-P（X<700）=0.9-0.7=0.2.

P（X≥900）=1-P（X<900）=1-0.9=0.1.

所以Y的分布列为：

Y 0 2 6 10

P 0.3 0.4 0.2 0.1

于是，E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3；

D（Y）=（0-3）2×0.3+（2-3）2×0.4+（6-3）2×0.2+（10-3）2×0.1=9.8.

故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. （Ⅱ）由概率的加法公式，P（X≥300）=1-P（X<300）=0.7，

又P（300≤X<900）=P（X<900）-P（X<300）=0.9-0.3=0.6. 由条件概率，得P（Y≤6|X≥300）=P（X<900|X≥300）=P（300≤X<900）P（X≥300）=0.60.7=67.

故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.

评析现实生活中与概率问题有关的实际问题经常会遇到，通过这些问题引导学生把所学知识应用于解决实际问题是新课程重要目的，也是教学中要特别关注的问题.

10.概率与统计交汇问题

例10我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：

分组频数频率

（0，30]30.03

（30，60]30.03

（60，90]370.37

（90，120]mn

（120，150]150.15

合计MN

图4

（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在图4给出的坐标系中画出频率分布直方图；

（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；

（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率.

分析与略解（Ⅰ）由频率分布表得M=30.03=100 ， 所以m=100-（3+3+37+15）=42，n=42100=0.42，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1. 概率分布直方图如图5所示.

图5

（Ⅱ）由题意知，全区90分以上学生估计为42+15100×600=342人.

（Ⅲ）设考试成绩在（0，30]内的3人分别为A、B、C；

考试成绩在（30，60]内的3人分别为a、b、c，

从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：

（A，B），（A，C），（A ，a），（A，b），（A，c），

（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），

（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有15个.

设抽取的2人的分数均不大于30分为事件D.则事件D含有3个结果： （A，B），（A，C） ，（B，C） .

∴P（D）=315=15.

11.概率与算法图6

例11（2013年四川高考试题）某算法的程序框图如图6所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个

整数中等可能随机产生.

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概

率Pi（i=1，2，3）；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

甲的频数统计表（部分）

运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数

3014610

…………

21001027376697

乙的频数统计表（部分）

运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数

3012117

…………

21001051696353

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

分析与略解（Ⅰ）变量x是在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能.

当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=12；

当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=13；

当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=16.

所以输出y的值为1的概率为12，输出y的值为2的概率为13，输出y的值为3的概率为16.

（Ⅱ）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下，

输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率

甲1027210037621006972100

乙10512100 69621003532100

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.

总之，概率与中学知识密切相关，具有很强的交汇性，应重视概率知识的工具性，发挥其应有的功能，真正达到学习有用的数学.

（收稿日期：2014-08-12）