三角函数几种最值问题的解法探讨

李佐红

[摘要]三角函数的最值问题是函数最值问题的重要组成部分，它与三角函数、函数的单调性、不等式等知识联系在一起，有一定的综合性.教师应学会归纳总结三角函数最值问题的几种类型与求解方法.

[关键词]三角函数最值方法

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）020059

三角函数是基本初等函数，其最值问题因注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考查，历来都是高考中的常见题型.它往往与二次函数、三角函数的图像、函数的单调性等知识联系在一起，有着较强的综合性.同求解其他函数的最值一样，求解三角函数的最值问题一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如正、余弦的有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数的最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（如一次函数、二次函数等）的最值问题.下面笔者介绍几种常见的求三角函数最值的方法.

一、换元法

（1）形如y=asin2x+bsinx+c的最值问题，基本解法思路为：设t=sinx，原式化为二次函数y=at2+bt+c，可在区间[-1，1]上求y的最值.

（2）形如y=asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的最值问题，基本解法思路为：设t=sinx±cosx，原式化为二次函数y=a（t2-1）±2+bt+c，可在区间[-2，2]上求y的最值.（注：必须注意换元后新变量的取值范围）

【例1】求函数y=-sin2x-2cosx+5的最值.

解析：本题可通过公式sin2x=1-cos2x，将函数表达式化为y=cos2x-2cosx+4，这是一个关于cosx的二次式，通过令cosx=t，得到y=t2-2t+4=（t-1）2+3.∵-1≤t≤1，∴当t=1，即cosx=1时，ymin=3；t=-1时，即cosx=-1，ymax=7.

【例2】求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值.

解析：∵（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，

令sinx+cosx=t，

则sinxcosx=t2-12，∴y=t2-12+t，其中t∈[-2，2].

当t=2时，sin（x+π4）=1，∴ymax=12+2.

二、辅助角法

形如y=asinx+bcosx+c的最值问题，基本解法思路为：引入辅助角φ，将原式化为y=a2+b2sin（x+φ）+c求解，其中，cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2.

【例3】求函数f（x）=3cos2x+2sinxcosx-5sin2x+3的最值.

解析：此类问题为y=asin2x+bsinx·cosx+ccos2x的三角函数求最值问题，它可通过降次、化简整理为y=asinx+bcosx+c型求解.

f（x）=32（1+cos2x）+sin2x-52（1-cos2x）+3=sin2x+4cos2x+2=17sin（2x+φ）+2.

∴ymin=2-17，ymax=2+17.

三、利用三角函数的有界性

形如y=asinx+bccosx+d的最值问题.基本解法思路为：根据正、余弦函数的一个最基本的，也是最重要的特征——有界性，即可分析求最值.当然，还可用不等式法或数形结合的方法求解.

【例4】求函数y=2-sinx2-cosx的值域.

解析：该题为y=asinx+bccosx+d型的三角函数求最值问题.原式可化为sinx-ycosx=2-2y，即sin（x-φ）=2-2y1+y2，∵|sin（x-φ）|≤1，∴-1≤2-2y1+y2≤1，解得4-73≤y≤4+73.

总之，求三角函数的最值时，均可以用代数中求最值的方法，以上几种方法中，以配方法、辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题关键在于学生对三角函数的灵活运用及能抓住题目的关键和本质.

（责任编辑钟伟芳）