教学生“会用数学”

刘萍

摘 要：学生学数学的目的是为了“会用数学”，培养学生的数学建模意识不失为一个重要途径。普通高中的数学课程标准对学生建模意识的培养有明确要求。据此，本文通过自己一系列的实践提出了培养学生数学建模意识的相关途径。

关键词：中学数学；建模意识；会用数学；途径培养

一、问题的提出

1.课程标准对数学建模教学提出了要求

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课的教学应设立‘数学探究‘数学建模等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式進一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣。”同时又指出：“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展‘数学建模的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。”以学生发展为本的教学理念就是教学生“会用数学”，数学建模正是培养学生“会用数学”的重要途径，新课标的要求正说明了培养学生建模意识的深远意义。

2.培养学生的建模意识是教学生学会“用数学”的重要途径

现在的中学数学教学其实还是可以称为“目标教学”，即围绕着教材给出的教学内容确定目标而进行教学。尽管我们一直提倡“教给学生有用的数学”，然而令人遗憾的是，许多学生在高中毕业后就觉得数学除了高考拿分外别无它用。学生在高中毕业后一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题，就不会用数学的方法去解决。因此，有必要加强中学数学建模教学。这是教会学生如何“用数学”的必要途径。

二、概念界定

所谓数学建模，就是建立数学模型。比较通俗的说法是：“根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地概括地表征所研究对象的主要特征及其关系所形成的一种数学结构。”

三、培养学生数学建模的途径

1.在导入新课中创设情境，形成建模场境

现在的高中数学教材，其引入基本能从激发学生的学习兴趣方面考虑，所以教师应认真钻研教材，在各个章节的新课中引入数学建模问题，导入新课。

如在教学向量的加法时，若按照书中的设计引入向量的加法，学生不易理解。教师可引用位移合成（或力的合成）创设下列三种情境：

情境1：一个人向东走10m，再向南走10m，这个人实际按什么方向走了多少米？

情境2：一艘船以a海里/小时的速度垂直于对岸出发，已知水流的速度为b海里/小时，在图1中标出船的实际速度和方向。

情境3：一个人经过两次位移、，如图2所示，在图2中标出该人的实际位移。

这样，学生就清楚地知道向量的加法的实际意义与物理学中位移的合成（力的合成）相类似，从而使学生在潜移默化中明白，数学源于生活又应用于生活，使之在今后的生活中，能够自觉地应用数学知识解决实际问题。

2.改编教材中的例题和习题建模，激发学生学习兴趣

教师应将教材中的例题和习题编成生活中的实际问题，这样不但可以帮助学生巩固新知识，而且可以进一步培养学生的应用意识和建模意识，使之对数学建模产生兴趣。

例如：在学了分段函数后，可引入手机话费问题、出租车租金与路程关系等问题。如：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线x2=y上移动，记线段AB的中点为M，当点M到x轴距离最短时，求点M的坐标。

该题如果采用函数方法求解，对于学习成绩一般的学生来讲，不但听不懂，甚至连听的欲望也没有。如果我们把这道题改编为：一只轴截面为抛物线型的酒杯，酒杯口直径为4cm，深为4cm，现在把长分别为3cm，2cm，1cm，0.5cm的粗细均匀小铁丝若干根放入盛有水的酒杯中摇晃，等水面静止时，长为3cm，2cm的小铁丝是倾斜的，且经过同一点，长为1cm，0.5cm的小铁丝是水平的，根据上面的现象，能得出什么结论？这事实上就将一个“理论”的题目改变成一个实际问题了。通过这个实际问题，引导学生“建模”，可以起到激发学生学习兴趣的作用。

教师可先引导学生，在建立平面直角坐标系的基础上得出抛物线的解析式为：x2=y，通径为1cm。此时学生不难发现3cm，2cm都大于通径，而1cm，0.5cm小于或等于通径，从中可得出初步的结论：长大于通径的铁丝是倾斜的，而长小于、等于通径的铁丝是水平的。教师进而引导，铁丝是在重力的影响下，当重心最低时最稳固，此时重心是在铁丝的中点的。所以，当铁丝的中点距离x轴的距离最短，即大于通径的弦经过焦点时，距离x轴的距离最短，然后再给出证明。这样学生就比较容易接受，就能兴致勃勃地听下去，这对于提高学生学习数学的兴趣、培养学生分析问题和解决问题的能力、提高课堂的教学效率有较好的作用。

3.结合专题讨论进行建模方法研究，掌握建模程序

建模的途径较多，教师也可以选择恰当的建模专题，讲解数学建模的程序。先是准备数学模型：就是让学生了解问题的实际背景，明确建模目的，尽量弄清对象的特征。再是模型假设：根据提供的实际问题特征和建模目的，对问题进行必要、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。

数学建模的基本程序如图3所示：

图3

选择下列的例子：富阳市某造纸厂，从今年7月开始投厂，前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件。由于产品质量较好，前4个月的产品销售情况良好，为了销售员在推销产品时接受定单适度，需要估算今后几个月的产量，如果你是厂长，怎样推算较为准确？

这样的实际问题学生比较感兴趣，教师要引导学生用数学中函数拟合的思想去解决，学生自然而然地会考虑用哪一种函数比较合适。通过描点作图，可以看出它是一条曲线，所以不是一次函数，学生可能会猜测它可能是二次函数、指数函数或者幂函数。为了简化计算，选择如下三种函数：（1）二次函数：f（x）=ax2+bx+c；（2）幂函数：f（x）=ax+b；（3）指数函数：f（x）=abx+c。然后将学生分成三组分别进行代数求解。

甲组：f（x）=ax2+bx+c，将（1，1）（2，1.2）（3，1.3）代入，计算得：f（x）=-0.05x2+0.35x+0.7，所以f（4）=1.3，与实际误差为0.07万件。

乙组：f（x）=ax+b，将（1，1）（2，1.2）（3，1.3）代入，计算得：f（x）=0.48x+0.52，所以f（4）=1.48，与实际误差为0.11万件。

丙组：f（x）=abx+c，将（1，1）（2，1.2）（3，1.3）代入，计算得：f（x）=-0.08x+1.4，所以f（4）=1.35，与实际误差为0.02万件。

然后回到实际问题，得出采用哪一种函数比较接近客观实际。最后，结合程序总结建立数学模型的一般步骤：调查实验得到原始数据；建立平面直角坐标系，描点；观察图系，确定函数模型；对模型进行评析。

通过讨论、分析和研究，使学生熟悉并理解数学建模的一般步骤，掌握建模方法，从而使学生积累一定的建模经验，为其能独立应用数学建模方法解决问题打下一定的基础。

4.利用教材中的阅读材料，培养建模意识

教材中的阅读材料蕴涵了许多数学建模的问题，而教师往往忽视了它们的功能，要么弃之不理，要么让学生回去自学，学生有否自学也不管，从而失去了许多培养学生建模意识的好素材。对于阅读材料应该采用一些特殊方法来进行教学，其中“自学+指导”是一种比较有效的方法。

如高一《数学》书中有这样的阅读材料《潮夕与港口水深》，在课堂上先由学生自学再提出疑问，教师适当解答，当学生与书上的问题没有疑问后，再补充这样的练习：已知某海滨浪高y（m）是时间t（0小时≤t24小时）的函数，记作y=（t），表1是某日各时的浪高数据：

经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看作是函数y=Asinωt+b的图像。（1）根据以上数据，求出y=Asinωt+b最小正周期、振幅A及函数表达式。（2）依据规定，当浪高高于1.0m时，才对冲浪爱好者开放，请根据（1）中的结论，计算出一天内从上午8：00至晚上20：00之间有多少时间可进行冲浪运动？

这样一来，学生不但加深了对正弦三角函数的理解，而且使學生利用学过的数学知识认识了自然现象——潮汐，增强了学生利用数学模型解决实际问题的信心和勇气。

5.与实践性作业和开展研究性学习相结合，体验建模乐趣

数学的实践性作业与研究性学习具有很强的实践性和应用性。高中生的社会经验不是很丰富，所以要遵循循序渐进的原则，先易后难，尽量取材于学生生活中喜闻乐见的事情和容易操作的实验。

对于研究性学习，教师要指导学生研究性学习的整个流程，包括如何制订研究方案，如何开展研究工作，如何撰写研究报告等，并要求学生对自己的研究过程在课堂上发表见解，小组间共同讨论，师生间共同交流、探讨，使学生的研究进一步得到完善。通过布置实践性作业和开展研究性学习，使学生能自觉地运用数学知识解决生活中的实际问题，并体验到成功的快乐。

6.与其他学科联系，拓展建模平台

由于数学是学习其他学科的工具，与其他学科的联系是相当密切的。因此，教师在教学中应注意与其他学科的呼应，这不仅可以帮助学生加深对其他学科的理解，而且拓展了学生数学建模的平台，是培养学生建模意识的一条不可忽视的途径。

7.组织课外兴趣小组，举行数学建模比赛，推进建模教学

参加数学建模兴趣小组的学生，一般都是对数学有较大兴趣并且数学成绩较好的学生，他们对数学建模的学习有较高的潜力，若能在他们中组织建模活动，能在全班渗透建模意识，从而带动全班学生对数学建模产生兴趣。全面举办数学建模比赛，既可以扩大数学建模的影响面，又可以使学生更加重视数学建模，提高建模能力，从而推进数学建模的进程。

四、实践后的体会

培养学生的建模意识，仅靠教师在课堂上口头强调无法达到比较理想的效果，需要相应的评价制度作保证。一般期末考试和高考没有实践性作业和研究性学习这样的题目，而且完成这样的题目很费时。所以，在目前功利性较强的学习环境下，学生对实践性作业和研究性学习缺乏足够的热情，从而对数学建模也不太感兴趣。因此，要靠相应的评价制度促使学生思想的转化。

对学生建模意识的培养，不可一蹴而就，必须长期坚持，始终把培养学生的建模意识和建模能力贯穿在整个教学过程中。在开展“目标数学教学”的同时大力渗透“数学建模”教学，必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养新世纪的创新性人才提供一个全新的舞台。

参考文献：

[1]沈新权.构建建模意识 培养创新思维[EB/OL].http：//www.sh.cn.

[2]卜月华.中学数学建模教与学[M].南京：东南文学出版社，2004.