一元二次方程与一元二次函数

彭健

一元二次函数是初中数学的重要内容，是初中过渡到高中的衔接点，则它在高中数学中也具有一定地位. 那如何将知识之间的联系与认识上的转变结合起来呢？

一、一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数是初中数学的重要内容 ，是初中、高中数学知识的衔接点，是中考中数学的重点考察内容之一，要全面掌握一元二次函数的基础知识和基本性质，并能分析和解决有关一元二次函数的综合问题，合理利用一元二次函数与一元二次方程的联系是十分必要的.

首先，从其形式上来看：

一元二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）与一元二次方程0 = ax2 + bx + c（a ≠ 0）（其中a，b，c为常数）：

① 它们都是关于x的二次式，从上面我们可以看出，y = 0时，便是一个一元二次方程. 所以，我们可以认为一元二次方程是一元二次函数的特殊形式，这是用函数的观点看一元二次方程.

② 条件上，都是在保证a ≠ 0的情况下，去认识一元二次函数和一元二次方程. 如果a = 0时，再谈便无意义.

③ 從其表达式上可知道，无论是一元二次函数y的值，还是一元二次方程的解x应该都与系数a，b，c有关.

其次，我们还可以从其内涵上来看：

① 一元二次方程是求ax2 + bx + c = 0时x的某确定值，即方程的根. 实质是用a，b，c来表示，如将x反代入表达式，则ax2 + bx + c值为0.

② 一元二次函数y = ax2 + bx + c是研究变量y随自变量x的变化情况，反应的是y的变化规律. 当x变化时，y也随着x以ax2 + bx + c变化. 而当y = 0时，求出方程x2 + bx + c = 0的两根x1，x2 . 而此时的x1，x2正是一元二次函数y = ax2 + bx + c与x轴的交点.

最后，我们知道，无论是一元二次函数还是一元二次方程，其交点或根都与系数a，b，c有关. 有交点就说明方程ax2 + bx + c = 0有根. 那么，是不是所有的一元二次方程ax2 + bx + c = 0都有根或者说所有的一元二次函数y = ax2 + bx + c都与x轴有交点呢？又是不是只要一元二次方程ax2 + bx + c = 0有根，一元二次函数y = ax2 + bx + c就与x轴有交点呢？

通过学习我们知道，并不是所有的一元二次方程都有实数根，也不是全部一元二次函数都与实数轴x轴有交点. 既然这样，那怎样的一元二次方程才有实数根，又是什么样的一元二次函数才与实数轴有交点呢？上面已经说过，无论是方程的根，还是函数与x轴的交点坐标都应该和其系数a、b、c有关. 所以，现在我们应该考虑，能否通过它们的系数关系来判断一元二次方程有根或一元二次函数有交点的问题. 有根，有几个根；有交点，又有几个交点；满足有根或有交点时，系数之间是否呈现一定的关系和规律呢？

综上，我们可以看到，无论a∈（-∞，+∞），且a ≠ 0时，①当b2 - 4ac > 0时，一元二次函数与x轴有两个不同的交点，且相应方程有两个不同的实数根；②当b2 - 4ac = 0时，一元二次函数与x轴仅有一个交点和对应方程有一对相等的根（即x1 = x2）；③当b2 - 4ac < 0时，一元二次函数与x轴无交点，对应方程无实数根. 亦说明一元二次函数与一元二次方程间是有着密切联系的. 它们都有一共同特征：就是一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无实数根都决定于b2 - 4ac与0的比较. 一元二次函数与x轴有无交点和一元二次方程有无根都与表达式b2 - 4ac有关，并把它作为判断有无交点和有无根的依据，所以叫它为判别式，记为△[2]. （注：它只是一个记号.）

二、用一元二次函数的观点看一元二次方程

例4 如图-2，以40 m/s的速度将小球沿以地面成30°角的方向击出时，球的路线将是一条抛物线，如果不计空气阻力，球的飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h = 20t - 5t2.

（1）球飞行高度能否达到15 m？20 m呢？20.5 m呢？

（2） 若能，需多长时间呢？

解 h = 20t - 5t2 = -5（t - 2）2 + 20

当t = 2s时h = 20 m，是球飞行的最大高度.15 < 20 < 20.5，即球不能达到20.5 m；能达到15 m，当h = 15，则t = 1 s或3 s.

此题实际上是求分别满足20t - 5t2 = 15、20或20.5时，t是否存在实数解，但这要分别对这三个一元二次方程进行讨论，这是很烦琐的. 如按以上的解法，就是充分运用了函数的性质，进而将问题简单化、明了化.

通过本文研习，我们更近一步认识了一元二次函数，更清楚地明白了它与一元二次方程间的密切关系，初步掌握了除因式分解、求根公式外的另一种求一元二次函数与轴交点

的方法——二分法求近似值.