两道选择题的巧解及反思

黄振

[摘要]选择题是标准化试题的一种，具有题目小、答案简明、解法灵活等特点.列举两道关于双曲线的选择题，探讨常规解法和巧解法，并作了反思.

[关键词]选择题巧解反思

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）290038

双曲线既是高中数学的一个重点和难点，也是全国各地高考、模考、质检考等考试的热点话题.考生如何对题型和考法复杂、多变的选择题快速、准确地作出解答对成绩的高低有重要的影响.本文介绍两道选择题的常规解法和巧解法，并作了反思，旨在与同行相互学习，共同提高.

一、例题赏析

评注：该题主要考查直线与双曲线的关系、直线的斜率、一元二次方程根与系数的关系.虽然两种解法在过程上可以说是一样的，但由于该题是选择题，不要求解答过程，所以巧解1巧就巧在将k1的值特殊化了.这就大大简化了含有字母的复杂计算，加快了速度，节省了时间.学生通常对含有字母的计算很反感，容易出错.巧解1将字母赋以特殊值而不影响结果.对学生来说，特殊化法无疑是一个有效的解题策略.而巧解2更是神奇，利用了极限化的思想，将有限的、静态的问题转化为无限的、动态的问题，而且整个过程不用进行复杂的计算，快速、准确、高效.这种将无限化有限、有限化无限的解决数学问题的方法就是极限化方法.

【例2】若双曲线x2-y2=a2（a>0）的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点.若直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，且β=mα（m>1），那么α的值是（）.

巧解（极限化）：将点P看成是第一象限内双曲线上无穷远处的一点，直线PA、PB将与双曲线的渐近线重合，此时β→α→π4（因为双曲线为等轴双曲线，渐近线的斜率为1，倾斜角为π4），所以m=1，故选D.

评注：该题主要考查直线的斜率、两角和的正切公式和双曲线的简单几何性质等.常规解法是先求两直线的斜率，利用点P在双曲线上的关系，化简两直线斜率积的值，再结合斜率与倾斜角的关系、两角和正切公式，最后解得答案.整个过程思路清晰，但计算量比较大，比较耗时，对计算能力较差的学生来说可能有些困难.而巧解则和例1一样，利用了极限化思想，打破了思维常规，快速、准确求得答案.

二、反思

选择题几乎是所有数学考试必不可少的一种题型，分值占据了“半壁江山”，素有“得选择题者得天下”之称，所以如何在保证正确的前提下提高解题速度对学生提高数学成绩至关重要.选择题不考查解答过程，只看结果.做选择题可以不按照常规方法解答.上述两个例题的常规解法通常会耗费大量的时间和精力，特别是中、下层学生，他们心里会产生一定的压力.而对应的巧解则可以减少计算时间，提高答题速度.所以在平时的备考教学中，教师要教给学生一些简单、快速、有效的做选择题的方法，除了上述的特殊值法、极限法外，还有坐标法、数形结合法、排除法、验证法等，并且引导学生做一些相应的练习，以此提高学生的学习效率和学习成绩.

“数学是思维的体操”，数学考试拿高分固然重要，但培养数学思维才是最终目的.数学课程标准指出：“高中数学课程应该注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.”所以，在平时的数学教学中，应该重视培养学生的创造性思维、发散思维、聚合思维、直觉思维、分析思维，并注意多种思维的交互应用，培养学生良好的数学思维品质.然而在应试教育的背景下，有些教师在教学中忽略了学生数学思维的培养.学生思维呆板、解题套路常规、缺乏创造性的发现等问题应该引起我们的重视，我们要在平时的数学教学中为改变这些现象而努力.

日本著名的数学教育家米山国藏在《数学的精神、思维与方法》中说：“学生所学到的数学知识，在进入社会后不到两年就忘掉了，然而那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期在他们的生活和工作中发挥着作用.”在平时的数学教学中，教师应该营造良好的学习氛围，拉近师生间的距离，鼓励学生积极思考，敢于另辟蹊径，敢于发表自己的看法，引导学生发现数学解题背后蕴含的理性之美、智慧之光.同时，教师还应有意识、有目的地加强数学精神和数学思想方法的渗透与运用，从而提高学生的数学素养.

“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.”数学教育之路充满困难与挑战，广大数学教师需要共同努力.上述观点属于个人之见，旨在交流学习，如有不对，请各位同行指正.

[参考文献]

杨军，田宏根，张静.基于过程视角的正弦定理教学的问题分析[J].数学教育学报，2012，21（6）：31-34.

（责任编辑钟伟芳）