二重极限与累次极限及其应用

左双勇

摘 要：极限是研究函数的重要工具之一，二重极限是定义二元以上函数极限的基础，这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系，最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

关键词：极限;二重极限;累次极限

1.二重极限与累次极限的概念

二元函数的极限有两种概念，它们分别是二重极限与累次极限，其定义分别如下：

定义1：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若存在常数A，对∨ε>0，总  δ>0，只要点P（x，y）与P0（x0，y0）的距离ρ=√（x-x0）2-（y-y0）2< δ，恒有|f（x，y）-A|<ε成立，则称A为函数z=f（x，y）当P（x，y）→P0（x0，y0）时的极限，记作

limf（x，y）=A或 limf（P）=A

上面定义的二元函数的极限也称为二重极限。[1]

定义2：设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）某邻域（P0可除外）有定义，若limf（x，y）=φ（y）存在，且limφ（y）=A存在，则称A为函数z=f（x，y）的先x→x0后y→y0次序的累次极限，记作：lim limf（x，y）=A。

同样的方法可以定义相反次序的累次极限lim limf（x，y）=A。[2]

2.二重极限与累次极限的关系举例

二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念，下面举例说明它们在存在性上是相互独立的，没有必然的联系。

（1）二重极限存在，两种不同次序的累次极限也存在，且相等。例如，

—，x2+y2≠0

f（x，y）=

0，         x2+y2=0

二重极限lim—=0存在。这是因为对∨ε>0，取δ=ε，只要ρ=√x2+y2<δ，恒有|—-0|≤—=|x|<√x2+y2<ε成立。

两种不同次序的累次极限lim lim—=0，lim lim—=0

存在且相等。

（2）二重极限存在，两种不同次序的累次极限都不存在。例如，

xsin—+ysin—，x≠0，y≠0

f（x，y）=

0，                  x=0，y=0

二重极限lim（xsin—+ysin—）=0存在。

而累次极限lim lim（xsin—+ ysin—）=

0和lim lim（xsin—+ ysin—）=0都不存在。

（3）二重极限存在，一种次序的累次极限存在，而另一种次序的累次极限不存在。例如，

xsin—，x∈R，y≠0

f（x，y）=

0，        x∈R，y=0

二重极限limxsin—=0存在。

累次极限lim limxsin—=0存在，而相反次序的累次极限lim limxsin—=0不存在。

（4）二重极限不存在，两种不同次序的累次极限都存在，且相等。

例如，f（x，y）=—

累次极限lim lim—=0和lim lim —=0存在且相等。

而二重极限lim—=0不存在。

（5）二重极限不存在，两种不同次序的累次极限都存在，但不相等。

例如，f（x，y）=—

累次极限lim lim—=-1和lim lim

—=1存在且不相等。

二重极限lim—=0不存在。

此外，还有二重极限不存在，一种次序的累次极限存在，而另一种次序的累次极限不存在，以及二重极限不存在，两种不同次序的累次极限都不存在两种类型关系，在此不一一例举。

由上面讨论知，二重极限与累次极限在存在性上没有必然的联系，但是，在一定的条件下，又可以建立下面的两个结论：

定理1：若函数z=f（x，y）的二重极限limf（x，y）存在，且累次极限lim limf（x，y）=A（或lim limf（x，y）=

A）存在，则有limf（x，y）=lim limf

（x，y）=A（或limf（x，y）=lim limf（x，y）=A）。

定理2：若函数z=f（x，y）的两种不同次序的累次极限lim limf（x，y）和lim limf（x，y）都存在，但不相等，则二重极限 limf（x，y）一定不存在。

3.二重极限与累次极限的应用

（1）一般计算比较复杂的二元函数的极限是比较困难的，而求累次极限实际上是进行两次一元函数的极限计算，是比较容易的，由定理1知，在二重极限存在的条件下，可用求累次极限来求其二重极限。

（2）用累次极限可判别二重极限不存在。由定理2知，若两种不同次序的累次极限都存在，但不相等时，则二重极限一定不存在。

例如，f（x，y）=—

累次极限lim limf（x，y）=lim（y-

1）=-1和lim limf（x，y）=lim（x+1）=1

都存在，但不相等，而二重极限limf（x，y）不存在。

（3）用累次极限可表示某些非初等函数。

例如，在高等数学中常见的狄利克雷函数

1，x为有理数

0，x为无理数

可以用累次极限y=D（x）=lim lim（cosmπx）2n       （m，n为整数）来表示。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系编.数学分析（第二版）（下）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]王旭琴.二重极限与累次极限的关系[J].南昌高专学报，2010（02）： 157—158.

（作者单位：广州城建职业学院人文学院）