把握数学本质，以不变应万变

王涛

我们要想解决一个数学问题，关键要把握题中的数学本质，在千变万化中找寻到其中不变的量，求出这些不变的量，然后利用这些不变的量解决最终的问题，以不变应万变。下面，本文主要以“牛吃草”问题为例，阐述解决问题时的“以不变应万变”。

一、“牛吃草”问题

牛吃草问题也称牛顿问题，最早是伟大的数学家、物理学家牛顿在《普通算术》中提出来的。形如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？解决这类问题时，难点是草的总量在不断变化，其中包括草的增加：每天新长的和草的减少：每天被牛吃掉的，而且牛的数量在变化，每天被吃掉的草的量也有所不同。因此解题的关键是想办法从变化中找到不变的量，以不变应万变。我们不难发现，主要有以下这些不变的量：（1）牧场上原有的草的量；（2）每天新长出的草是不变的（匀速生长）；（3）每头牛每天的吃草量是不变的。求出这些不变的量，以不变应万变，问题就容易解决了。

我们不妨假设每头牛每天吃草的量为1份，从而我们可以求出10头牛吃20天的草量为：10×20=200（份）；15头牛吃10天的草量为15×10=150（份）。200份草=原有的草+20天新长的草；150份草=原有的草+10天新长的草。两者都包含原有的草，区别在于新长的草量，为什么前者会比后者多出200-150=50（份）的草？我们不难发现，是因为前者比后者多长了20-10=10（天），也就是说多长的10天的草量就是那多出的50份草，从而可以求出每天新长的草量为：（200-150）÷（20-10）=5（份）。最后利用“每天新长的草量为5份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的草量。可利用10头牛吃20天的草量为200份求出原有的草量为：200-5×20=100（份）；或者也可用15头牛吃10天的草量为150份求出原有的草量为：150-5×10=100（份）。至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。最后要求可供25头牛吃几天，主要有两种想法：（1）25头牛吃草每天消耗25份草，同时每天会新增5份草，也就是说每天净减少25-5=20（份），原有的100份草，100÷20=5（天）就被吃完；（2）由于每天新增5份草，我们可以让其中的5头牛专门去吃每天新增的草，自给自足，剩下的25-5=20（头）牛只能吃原有的100份草，100÷20=5（天）吃完。两种想法略有不同，但列式相同，其本质也一样。

至此，整道题就解完了。解决这类问题的关键是想办法从变化中找到不变的量，然后求出这些不变的量，最后利用这些不变的量再求出最终的问题。

二、“牛吃草”问题的运用

在生活中，我们有时也会遇到“牛吃草”问题。比如：火车站的检票口，在检票开始前就已有人在排队，以后每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检票口需要20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？这类问题是“牛吃草”问题的变形，与“牛吃草”问题的本质特征是相同的。我们不妨也先分析一下题意，找出其中的不变量：（1）检票刚开始的一刹那等候的人数是不变的，这相当于牧场上原来的草；（2）每分钟新来的人数是不变的，这相当于牧场上每天新长出的草；（3）每个检票口每分钟检票的人数是不变的，这相当于牧场上每头牛每天的吃草量。在这题中，检票口相当于牛，人相当于草，我们先求出以上这些不变量，最后的问题就容易解决了。

我们不妨假设每个检票口每分钟检票的人数为1份，从而我们可以求出4个检票口30分钟的检票人数为：4×30=120（份）；5个检票口20分钟的检票人数为：5×20=100（份）。120份人=原有的人+30分钟新来的人；100份人=原有的人+20分钟新来的人。两者都包含原有的人，区别在于新来的人，为什么前者会比后者多出120-100=20（份）的人？我们不难发现，是因为前者比后者多了30-20=10（分钟），也就是说多出的20份的人就是10分钟新来的，从而可以求出每分钟新来的人为：（120-100）÷（30-20）=2（份）。最后利用“每分钟新来的人为2份”这个不变的量求出最后一个不变的量：原有的人。可利用4个检票口30分钟的检票人数为120份求出原有的人为：120-2×30=60（份）；或者也可用5个检票口20分钟的检票人数为100份求出原有的人为：100-2×20=60（份）。至此，所有不变的量都已经求出，以这些不变的量应对千变万化的问题，就容易多了。最后要求同时打开7个检票口，需要几分钟，主要有两种想法：（1）7个检票口每分钟可检票7份人，同时每分钟会新增2份人，也就是说每分钟净减少7-2=5（份），原有的60份人，60÷5=12（分钟）就被检完；（2）由于每分钟新增2份人，我们可以让其中的2个检票口专门去检每分钟新来的人，剩下的7-2=5（个）检票口只能检原有的60份人，60÷5=12（分钟）检完。

在数学解题中，我们只有把握数学本质，以不变应万变，才能得心应手，处于不败之地。

编辑 谢尾合