蚂蚁怎样爬最近教学设计

侯静

教材：人教版义务教育课程标准实验教科书·八年级（下册）

课题：勾股定理应用（三）蚂蚁怎样爬最近

教材分析：在上一节课中学生通过“观察”发现直角三角形的三边得出了勾股定理，勾股定理用于解决直角三角形三边的关系，是几何学习的一个工具。勾股定理在实际问题中的运用是中、高考的考点。求立体图形中两点之间的最短距离是学生的难点，通过观察和动手把立体图形转化为平面图形，利用“两点之间，线段最短”解决此类问题。

教学目标设计：

1.知识与技能目标：

（1）运用勾股定理进行简单的计算。

（2）运用勾股定理解释生活中的实际问题。

2.过程与方法目标：

（1）学习“观察——归纳”的思维方法。

（2）理解转化，化归思想。

3.情感、态度与价值观目标：通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质，培养学生的动手能力。

教学过程：

引例.如图一只蚂蚁在长方形ACDF的地面上，长方形的长为8米，宽为3米，它要从A点出

发到B点找食物，点B是长方形的中点，它怎样爬最近？最短距离是多少？从 A 到D点呢？

解：连接AB（图略）

在△ABC中∠C=90°

∴AB=  =5

连接AD

在△ABD中∠C=90°

∴AD= = =

简析：平面两点之间的距离问题学生易于解决，利用“两点之间，线段最短”，图中AB的长是直角三角形的斜边，再找到两直角边的大小即可。教师在教学中可以以平面为介推入立体图形，解决立体图形中的最短问题。

变形1.已知圆柱的底面半径为2厘米，高为8厘米，蚂蚁从A点绕圆柱的一圈爬到C点的最短路程是多少厘米？爬到B点呢？ （π取3）（图形略）

简析：本变形1来自于教材，以教材的原题为母题变化出各种各样的题型。原题中蚂蚁从A点到B点在曲面上很难求出A到C的距离，引导学生回忆圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形的的宽是圆柱的高AC，矩形的长是圆柱的底面周长CC1，AC的长就是Rt△ACC1的斜边AC1的长，而CB就是圆柱底面半周长，这样此题的问和上题一样，把立体图形转化为平面图形得以解决。

解：连接AC1，在△ACC1中∠C=90°

AC1= = = = =4

连接AB，在△ACB中∠C=90°

AB= = = =10

变形2.（2011.荆州）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁的最短路径长多少？

把圆柱换成长方体从P点绕侧面爬行一圈到达Q点，把长方体的侧面展开，展开成一个大矩形，矩形的长是长方体的底面周长，宽是长方体的高PQ，爬行的距离是Rt△PQQ1的斜边PQ1的长。（图形略）

∴PQ1= = = =13

简析：虽然两题都是爬行的立体图形不一样，但路程都是直角三角形的斜边。只要找到直角边分别是什么问题就易于解决。

变形3.如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米，若一只蚂蚁要从P点开始出发，沿长方体的表面爬到Q点寻找食物，蚂蚁的最短路径长多少？

蚂蚁从P点沿长方体的表面爬到Q点寻找食物有很多条路线。学生会思考先从前面再到上底面;先从下底面再到后面;先从前面再到右面;先从左面再到后面;先从下底面再到右面;先从左面再到上底面六条路线，根据长方体的特点前后两个面，上下两个面，左右两个面分别相等，所以实际上就只有3条路线。引导学生思考还是把立体图形展成平面图形，如下图所示：（图形略）

图（1）：经过前面和上底面（或经过下底面和后面）

图（2）：经过前面和右面（或经过左面和后面）

图（3）：经过下底面和右面（或经过左面和上底面）（图形略）

可以依次算出3条路线的长分别为：

ι1= =

ι2= =

ι3= =

通过比较得到第二种最短，观察发现计算最短路线是：长方体中两条较短边和的平方与较大边的平方的和的算术平方根。这样可以推广到一般：若一个长方体的长、宽、高分别为x、y、z，且x>y>z，则蚂蚁爬行最短距离为： 。还可以推广到是一个正方体，正方体的边长为a则为： a。这两个式子对学生高考题中涉及到此类题都非常适用，学生可先比较线段大小后直接带入公式进行计算得出结论，在实际解题中就可套用公式很快解决问题。

趁热打铁：

1.如图（一），长方体长为3cm，宽为2cm，高为1cm，若一只蚂蚁要从A点开始出发沿长方体的表面爬到B点寻找食物，爬行的最短路程是             .

2.如图（二），边长为2的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（     ）.

A.36        B.2         C.4        D.2

如图（一）（图形略）     如图（二）（图形略）

3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为200cm、30cm、20cm，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？（图形略）

从上面的例子中可以看出解决初中几何中蚂蚁如何爬距离最短问题，最关键是把空间图形两点之间的最短路径问题，转化为平面图形中两点之间线段最短来解决，同时需要全方位考虑各种不同的展平辦法，不能遗漏。