函数对称性和周期性的几个重要结论

2015-05-30 19:04古丽尼沙汗·卡司木
课程教育研究·学法教法研究 2015年13期
关键词:偶函数对称轴周期性

古丽尼沙汗·卡司木

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2015)15-00-03

函数的对称性和周期性是函数重要的两大性质,而函数的性质是高中数学函数部分的一个重点内容。历年高考和竞赛题重点考察内容之一也是函数的定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、对称性、周期性、图像、极值和最值等性质。函数的对称性和周期性不仅广泛存在于数学问题之中,在我们的日常生活中也能经常遇见,而且利用对称性和周期性往往能更简捷地使问题得到解决,对称性和周期性关系还充分体现数学之美。本文就函数的对称性和周期性之间的关系加以探讨。

一、函数的对称性

(一)函数对称性的定义

函数的对称有自对称和互对称。自对称是指同一个函数图像的对称(中心对称或轴对称),图像是其本身;互对称是指两个函数图像上的点一一对应,且对应点相互对称(中心对称或轴对称)。函数对称还有轴对称和点对称。

(二)函数自对称的相关结论

结论1:函数的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是。

上述关系式也可以写成或。

简证:设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于点对称。得证。

特别地:函数的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0。即:a=b=0

推论1:如果函数满足,则函数的图象关于点对称

推论2:若,即:,则的图像关于点对称。

推论3:若,则的图像关于点对称。(注:当a=b=c=0时,函数为奇函数。)

证明:在函数上任取一点,则。点关于点(,)的对称点为(,c-),当时,,即点(,c-)在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知,函数的图象关于点(,)对称。

结论2:函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或或。(即:可以改写成或。)

特别地:函数的图像关于y轴(x=0)对称的充要条件是f(x)=f(-x)。即:a=0。

推论:函数满足的充要条件是的图象关于直线对称。(注:当a=b=0时,该函数为偶函数。)

注:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称。比如:圆它会关于y=0对称。

(三)函数互对称的相关结论

结论1.函数与关于x轴对称。换种说法:与若满足,则它们关于对称。

结论2.函数与关于y轴对称。换种说法:函数与若满足,则它们关于对称。

结论3.函数与的图像关于直线x=y成轴对称图形。

结论4.函数与的图像关于直线x=a成轴对称。换种说法:函数与若满足,则它们关于对称。

结论5.函数与关于直线对称。换种说法:与若满足,则它们关于对称。

结论6.函数的图象与的图象关于直线对称。

证明:在函数上任取一点,则,

点关于直线对称点(,)。由于,故点(,)在函数上。由点是函数图象上任一点,因此与关于直线对称。

结论7.函数与函数的图像关于直线对称。

结论8.函数与关于直线对称。

结论9.函数与的图象关于点对称。换种说法,函数与若满足,则函数它们关于点对称.

结论10.函数与的图象关于点对称。换种说法,函数与若满足,则它们关于点对称.

结论11.函数与函数的图像关于点对称。换种说法,函数与函数若满足,则它们的图像关于点对称。

结论12.函数与的图像关于点A(a,b)成中心对称。换种说法:与若满足,则它们关于点(a,b)对称。

下面的几个结论用解析几何中的对称曲线轨迹方程来理解:

结论13.曲线与曲线关于直线对称。

结论14.曲线与曲线关于直线对称。

结论15.曲线与曲线关于直线对称。

结论16.曲线与曲线关于点对称。

二、函数的周期性

(一)周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。

(二)周期性的相关结论

结论1:对于非零常数T,若函数,则函数必有一个周期为2T。

证明:

∴函数的一个周期为2T。

结论2:对于非零常数T,若函数,则函数必有一个周期为2T。

结论3:对于非零常数T,若函数满足,则函数必有一个周期为2T。

结论4:对于非零常数T,若函数满足或,则函数的一个周期为2T。

结论:5:若函数满足(),则是以为一个周期的周期函数。

结论:6:函数对任意实数,都有(),则4T是f(x)的一个周期.

三、函数对称性和周期性的联系

(一)奇偶函数对称性和周期性的联系

1.如果奇函数满足(a0)(即关于x=a成轴对称),则函数是以4a为周期的周期函数。

2.如果偶函数满足(a0)(即关于直线x=a成轴对称),则函数是以2a为周期的周期函数。

3.如果奇函数满足,则可以推出其周期为2T,且可以推出对称轴为;又根据可以找出其对称中心为(以上)。

4.如果偶函数满足,则亦可以推出周期为2T,且对称中心为;又根据可以推出对称轴为(以上)。

(二)其它函数对称性和周期性的联系

1.如果函数同时关于直线x=a和x=b对称,即函数满足且(其中)同时成立,则可推出函数是以2|a-b|为周期的周期函数。

因为有:

2.若函数关于直线x=a成轴对称,同时关于点成中心对称,即在R上同时满足,且(其中),则函数是以4|a-b|为周期的周期函数。

3.若函数在R上有两个对称中心点(a,c)和(b,c),即函数在R上满足,且(其中),则函数是以2|a-b|为周期的周期函数。

特别地:若的图像有两个对称中心和(),即函数在R上满足,且(其中),则函数是以2|a-b|为周期的周期函数。

以上三个结论可归纳出以下总结:

如果函数在定义域内有两条垂直于x轴的对称轴或纵坐标相等的两个对称中心点或一条垂直于x轴的对称轴和一个对称中心点,则该函数一定是周期函数。

(三)运用以上总结时应注意的两点:

1.以上归纳出的结论一不小心就容易简化为:“若一个函数有两个对称性(不管是轴对称还是中心对称),则它一定为周期函数。”

如果有一个判断题是如此讲述,那就是大错特错,函数有两条对称轴,不一定就具有周期性,除非加上这两条对称轴都垂直于x轴,也就是形如x=a这样的对称轴;一个函数有两个对称点,那也不一定就具有周期性,除非这两个对称点的纵坐标都相等。有一个最简单不过的例子就是函数y=x,如图:

很容易知道,图象上的每一个点都是函数的对称点,显然,该函数没有周期性。该图象的任何一条法线(即垂直于y=x的直线)都是函数的对称轴,该函数没有周期性。这是我们在理解对称性与周期性时需要注意的。

2.注意变化后的对称性和周期性条件

永远把握住“同号看周期,异号看对称”这一句话,结合前面的结论,便可以解决这一类问题。只要题目当中给出,那基本上都是间接告诉你该函数的周期;若给出,那基本上也是间接告诉你函数对称性的。这就需要我们对给出的条件进行化简,使之变成与周期性和对称性有关的式子。一般的方法是在与中的x同时加上|a-b|,多化简几步,自然就能化简出来。

如:函数对任意x满足。这条件是同号的,和周期有关。我们对括号里同时加上|2-0|=2得到:,将带入化简得到:,还是没有得到我们想要的结果,那就进一步对括号里的同时加上|4-0|=4,得到:。说明该函数是以8为周期的周期函数。

又如:函数对任意,满足。这条件是异号的,和对称有关。直接可得到函数是关于x=3对称的对称性函数。

又如:函数满足。这条件是异号的,和对称有关。可得到函数是关于点(1,0)(即:关于(,0))对称的对称性函数。

四、函数对称性和周期性的应用举例

1.设函数在(,)上满足,,且在闭区间[0,7]上,只有。

(1)试判断函数的奇偶性;

(2)试求方程在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。

解:(1)由,得函数的对称轴为,。由前面的知识可知函数的一个周期为2|a-b|,即:T=10。

因为函数在[0,7]上只有,

可知,

又∴

而且,则可得,。

因此,函数既不是奇函数,也不是偶函数。

(2)由,可得,故函数在[0,10]和[-10,0]上均有两个解(1,3和-7,-9)满足;从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005,0]上有400个解。所以,函数在[-2005,2005]上共有802个解。

2.定义在R上的非常数函数满足:为偶函数,且,则一定是( )

(A)是偶函数,也是周期函数

(B)是偶函数,但不是周期函数

(C)是奇函数,也是周期函数

(D)是奇函数,但不是周期函数

解:∵为偶函数,∴。

又有。∴有两条对称轴x=5与x=10,因此是以2|10-5|=10为一个周期的周期函数,∴x=0,即y轴也是的一个对称轴,因此还是一个偶函数。故选(A)。

3.已知函数是定义在上的周期函数,周期T=5,函数是奇函数。又知在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5.

(1)求证:;(2)求的解析式;(3)求在[4,9]上的解析式。

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